משפט הפונקציה ההפוכה

באנליזה מתמטית, משפט הפונקציה ההפוכה, מגדיר תנאי מספיק לקיום סביבה של נקודה בה פונקציה גזירה ברציפות היא הפיכה.

ניסוח

תהי $f\in C^1(U,{\mathbb{ℝ}}^n)$ (גזירה ברציפות) כאשר $U\subseteq {\mathbb{ℝ}}^n$ פתוחה ותהי נקודה $\mathbf{𝐚}\in U$. נניח שהיעקוביאן בנקודה זו מקיים $\det {\mathrm{J}}_f(\mathbf{𝐚})\ne 0$ (כלומר הדיפרנציאל בה, $\mathrm{D}f(\mathbf{𝐚})$, הפיך). אזי, קיימת קבוצה פתוחה $\mathbf{𝐚}\in V\subseteq U$ כך ש-$W=f(V)$ אף היא פתוחה, והפונקציה $f:V\to W$ חד-חד-ערכית ועל. יתרה מכך, הפונקציה ההופכית $f^{-1}:W\to V$ אף היא גזירה ברציפות, והדיפרנציאל שלה בנקודות $W$ מתקבל על ידי

$\mathrm{D}{f}^{-1}(\mathbf{𝐲})=[\mathrm{D}f(\mathbf{𝐱}){]}^{-1}$

לכל $\mathbf{𝐱}\in V$, כאשר $\mathbf{𝐲}=f(\mathbf{𝐱})$ (צורות רישום נוספות: $\mathrm{D}{f}^{-1}(\mathbf{𝐲})=[\mathrm{D}f(f^{-1}(\mathbf{𝐲})){]}^{-1}$ או $\mathrm{D}{f}^{-1}(f(\mathbf{𝐱}))=[\mathrm{D}f(\mathbf{𝐱}){]}^{-1}$).

דוגמה

תהי הפונקציה $f:{\mathbb{ℝ}}^2\to {\mathbb{ℝ}}^2$ המוגדרת על ידי $f(x,y)=(e^x\cos y,e^x\sin y)$. פונקציה זו לא חד-חד-ערכית: הרי היא מקבלת אותם ערכים עבור כל מחזור $2\pi$ של ערכי $y$. עם זאת, זו פונקציה גזירה ברציפות עם

${\mathrm{J}}_f(x,y)=\left(\begin{array}{cc}{e}^x\cos y& -e^x\sin y\\ e^x\sin y& e^x\cos y\end{array}\right)$

ואזי היעקוביאן הוא $\det {\mathrm{J}}_f(x,y)=e^{2x}\ne 0$. מהמשפט נקבל שהפונקציה היא חד-חד-ערכית באופן מקומי בסביבת כל נקודה, וקיימת לה פונקציה הפוכה שם, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית.

ניתן להבין את הדוגמה גם בכלים של פונקציות מרוכבות; הרי פונקציה זו מתאימה לפונקציה המרוכבת $f(z)=e^z$ ולכל סביבה של נקודה קיים ענף של פונקציית הלוגריתם המרוכבת $g(w)=\log w$ המהווה פונקציה הפוכה באופן מקומי, אך לא קיימת פונקציה הפוכה גלובלית (שהרי פונקציית האקספוננט המרוכבת אינה חד-חד-ערכית: $e^{z+i2\pi k}=e^z$ לכל $k\in \mathbb{\mathbb{Z}}$).

מקרה פרטי

זהי הכללה של המקרה הפרטי בו $n=1$: תהי $f:U\to \mathbb{ℝ}$ גזירה ברציפות. תהי $a\in U$ נקודה המקיימת $f^{\prime }(a)\ne 0$.

מעובדה זו ומרציפות הנגזרת ניתן להסיק שקיימת $\delta >0$ כך שלכל $x\in (a-\delta ,a+\delta )$ ,$f^{\prime }(x)\ne 0$.

נניח כי $f^{\prime }(a)>0$ אז מהיות $f^{\prime }$ רציפה, לכל $x\in (a-\delta ,a+\delta )$, $f^{\prime }(x)>0$ שהרי אחרת היה קיים $x_0\in (a-\delta ,a+\delta )$ עבורו $f^{\prime }(x_0)=0$ ממשפט ערך הביניים.

לכן $f$ מונוטונית עולה ממש בכל $(a-\delta ,a+\delta )$, מה שגורר כי $f$ חד-חד-ערכית בכל $(a-\delta ,a+\delta )$. מכאן ניתן להגדיר $f^{-1}:f((a-\delta ,a+\delta ))\to (a-\delta ,a+\delta )$ הגזירה בכל נקודה פנימית ב-$y_0\in f(a-\delta ,a+\delta )$ (נסמן $y_0=f(x_0)$), שכן ניתן לחשב ולקבל כי

$(f^{-1}{)}^{\prime }(y_0)=\underset{y\to y_0}{\lim }\frac{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}{y-y_0}=\underset{y\to y_0}{\lim }\frac{1}{\frac{y-y_0}{f^{-1}(y)-f^{-1}(y_0)}}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}}=\frac{1}{f^{\prime }(x_0)}$

כלומר

$\left(f^{-1}\right)(y)=\frac{1}{f^{\prime }(f^{-1}(y))}$

(אכן $f^{-1}(x)\in (a-\delta ,a+\delta )$ ובקטע זה הנגזרת של $f$ שונה מ-$0$).

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', משפט הפונקציה ההפוכה ומשפט הפונקציות הסתומות, באתר "לא מדויק", 29 באוקטובר 2015
• משפט הפונקציה ההפוכה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט הפונקציה ההפוכה38899954Q931001