משפט דה מואבר-לפלס

נניח שאנו מטילים קבוצה של n מטבעות מספר רב מאוד של פעמים וסופרים את מספר הפעמים שהתקבל "עץ". מספר הפעמים שיצא "עץ" בכל הטלה, המסומן ב-k, נע בין 0 ל-n בציר האופקי, בעוד הציר האנכי מייצג את התדירות היחסית של התוצאה k פעמים "עץ". גובה כל נקודה בתרשים משקף את ההסתברות להופעת k הצלחות בהטלת n מטבעות (המתוארת על ידי התפלגות בינומית עם n ניסיונות). על פי משפט דה-מואבר-לפלס, כאשר n גדל, הצורה של ההתפלגות הבדידה מתכנסת לעקומה הגאוסית הרציפה של התפלגות נורמלית.

משפט דה-מואבר-לפלס (באנגלית: De Moivre–Laplace theorem) הוא מקרה פרטי של משפט הגבול המרכזי, הקובע כי ניתן להשתמש בהתפלגות נורמלית כקירוב להתפלגות בינומית תחת תנאים מסוימים. בפרט, המשפט מראה כי פונקציית ההסתברות של מספר ההצלחות בסדרה של $n$ ניסויי ברנולי בלתי תלויים, שכל אחד מהם בעל הסתברות הצלחה $p$ , מתכנסת לפונקציית הצפיפות של ההתפלגות הנורמלית עם תוחלת $n p$ וסטיית תקן $\sqrt{n p (1 - p)}$ , כאשר $n$ גדול ובהנחה ש- $p$ אינו 0 או 1.

המשפט הופיע במהדורה השנייה של הספר "The Doctrine of Chances" מאת אברהם דה-מואבר, שפורסם בשנת 1738. דה-מואבר חקר את התפלגות מספר הפעמים שיצא "עץ" כאשר מטילים מטבע 3600 פעמים, והראה שההתפלגות מתקרבת לנורמלית. ^[1]

קירוב זה הוא אחד הדרכים לקבל את הגאוסיאן המשמש כבסיס להתפלגות הנורמלית בעזרת גבול.

משפט דה-מואבר-לפלס הוא מקרה פרטי של משפט הגבול המרכזי, מאחר שניתן להתייחס לתהליך ברנולי כאל דגימה בלתי תלויה של משתנים אקראיים מהתפלגות דיסקרטית בינארית בעלת ערכים 0 ו-1. ההתפלגות הבינומית מתארת את מספר ההצלחות, ומשפט הגבול המרכזי קובע כי כאשר $n$ גדול מספיק, התפלגות ממוצע המדגם תהיה בקירוב נורמלית. במקרה זה, מאחר ששכיחות ההצלחות שווה לממוצע המדגם, ההתפלגות הבינומית המנורמלת והתפלגות הממוצעים מתלכדות, והתוצאה היא ההתכנסות להתפלגות נורמלית.

ניסוח פורמלי

כאשר $n$ גדול, עבור ערכים של $k$ המקיימים $k = n p + O (\sqrt{n p q})$ , מתקיים הקירוב האסימפטוטי הבא לפונקציית ההסתברות של ההתפלגות הבינומית:^[2] ^[3]

$P (X = k) = (\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k} \approx \frac{1}{\sqrt{2 π n p q}} \exp (- \frac{(k - n p)^{2}}{2 n p q}),$

כאשר $p + q = 1$ ו- $p, q > 0$ .

במובן אסימפטוטי, יחס ההסתברויות בין אגף שמאל לאגף ימין שואף ל-1.

תקציר ההוכחה

ההוכחה מבוססת על קירוב הביטוי באגף שמאל של משפט דה-מואבר-לפלס לאגף ימין בשלושה שלבים עיקריים.

שלב ראשון: שימוש בנוסחת סטירלינג

לפי נוסחת סטירלינג, עבור $n$ גדול, העצרת מקורבת על ידי:

$n! \sim \sqrt{2 π n} \cdot n^{n} e^{- n}$

באמצעות קירוב זה, מתקבל ביטוי מקורב להסתברות הבינומית:

$(\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k} ≃ \sqrt{\frac{n}{2 π k (n - k)}} {(\frac{n p}{k})}^{k} {(\frac{n q}{n - k})}^{n - k}$

שלב שני: שימוש בקירוב $k / n \to p$

משימוש בקירוב:

$\frac{k}{n} \to p, \frac{n - k}{n} \to q,$

נקבל:

$(\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k} ≃ \frac{1}{\sqrt{2 π n p q}} {(\frac{n p}{k})}^{k} {(\frac{n q}{n - k})}^{n - k}, p + q = 1 .$

שלב שלישי: הצגת הביטוי כאקספוננט ופיתוח טיילור

לאחר ניסוח מחדש של הביטוי באמצעות פונקציה מעריכית, ושימוש בקירוב טיילור ללוגריתם:

$\ln (1 + x) ≃ x - \frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{3}}{3} - \dots .$

מתקבל לאחר הצבה ופיתוח:

$(\binom{n}{k}) p^{k} q^{n - k} ≃ \frac{1}{\sqrt{2 π n p q}} e^{- \frac{(k - n p)^{2}}{2 n p q}}$

כל המעברים בסימן $≃$ הם במובן אסימפטוטי, כלומר כאשר $n \to \infty$ , היחס בין אגפי השוויונות מתכנס ל-1, בדיוק כפי שמופיע בניסוח המשפט.

יישומים

קירוב נורמלי לחישובי הסתברות

משפט דה-מואבר-לפלס מספק כלי לחישוב מקורב של הסתברויות בינומיות כאשר $n$ גדול, במקום לבצע חישובים ישירים עם מקדמים בינומיים. עבור ערכים גדולים של $n$ , נהוג להשתמש בתיקון רציפות:

$P (a \leq X \leq b) \approx P (a - 0.5 \leq Y \leq b + 0.5),$

כאשר $Y \sim N (n p, n p (1 - p))$ היא ההתפלגות הנורמלית המקורבת.

דוגמאות מעשיות

בהסקה סטטיסטית, כאשר מודדים משתנה בעל התפלגות בינומית במדגם גדול (כגון שיעור הצבעה בבחירות), ההתפלגות בקירוב נורמלית, דבר שמאפשר לבצע בדיקות סטטיסטיות כגון מבחני Z למדגמים גדולים.
בתורת התורים ובקרת איכות, כאשר מנתחים מספר תקלות או הצלחות במערכת גדולה.
בתיבת גלטון – הדגמה ויזואלית למשפט, בה כדורים נופלים במסלול בינומי ומתפלגים בסופו של דבר בקירוב נורמלי.

הדגמה מספרית

נניח שמטילים מטבע הוגן (כלומר, הסתברות הצלחה $p = 0.5$ ) מספר רב של פעמים, למשל $n = 3600$ הטלות, ומתעניינים בהתפלגות מספר הפעמים שיצא "עץ".

לפי משפט דה-מואבר-לפלס, המשתנה המקרי $X$ המתאר את מספר הפעמים שיצא "עץ" מתפלג בקירוב נורמלית עם תוחלת ושונות:

$E [X] = n p = 3600 \cdot 0.5 = 1800,$

$Var (X) = n p (1 - p) = 3600 \cdot 0.5 \cdot 0.5 = 900 .$

מכאן שסטיית התקן היא:

$σ = \sqrt{900} = 30 .$

נחשב כעת את ההסתברות שמספר ה"עצים" יהיה בטווח של שלוש סטיות תקן סביב התוחלת, כלומר בטווח $[1710, 1890]$ :

$P (1710 \leq X \leq 1890) .$

לאחר נירמול ההתפלגות הבינומית להתפלגות נורמלית תקנית, מתקבל:

$P (\frac{1710 - 1800}{30} \leq Z \leq \frac{1890 - 1800}{30}) = P (- 3 \leq Z \leq 3) .$

לפי טבלאות ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית:

$P (- 3 \leq Z \leq 3) \approx 0.9973 .$

מכאן שההסתברות שמספר הפעמים שיצא "עץ" יהיה בטווח של שלוש סטיות תקן סביב התוחלת היא כ-99.73%, בהתאם לכלל שלושת סטיות התקן בהתפלגות נורמלית.

ראו גם

קישורים חיצוניים

משפט דה מואבר-לפלס, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

↑ Walker, Helen M (1985). "De Moivre on the law of normal probability" (PDF). In Smith, David Eugene (ed.). A source book in mathematics. Dover. p. 78. ISBN 0-486-64690-4. But altho’ the taking an infinite number of Experiments be not practicable, yet the preceding Conclusions may very well be applied to finite numbers, provided they be great, for Instance, if 3600 Experiments be taken, make n = 3600, hence ½n will be = 1800, and ½√n 30, then the Probability of the Event’s neither appearing oftner than 1830 times, nor more rarely than 1770, will be 0.682688.
↑ Papoulis, Athanasios (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (באנגלית) (4th ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-122661-3.
↑ Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications (באנגלית). Vol. 1. Wiley. Section VII.3. ISBN 0-471-25708-7.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט דה מואבר-לפלס41949033Q1855610

[1] Walker, Helen M (1985). "De Moivre on the law of normal probability" (PDF). In Smith, David Eugene (ed.). A source book in mathematics. Dover. p. 78. ISBN 0-486-64690-4. But altho’ the taking an infinite number of Experiments be not practicable, yet the preceding Conclusions may very well be applied to finite numbers, provided they be great, for Instance, if 3600 Experiments be taken, make n = 3600, hence ½n will be = 1800, and ½√n 30, then the Probability of the Event’s neither appearing oftner than 1830 times, nor more rarely than 1770, will be 0.682688.

[2] Papoulis, Athanasios (2002). Probability, Random Variables, and Stochastic Processes (באנגלית) (4th ed.). Boston: McGraw-Hill. ISBN 0-07-122661-3.

[3] Feller, W. (1968). An Introduction to Probability Theory and Its Applications (באנגלית). Vol. 1. Wiley. Section VII.3. ISBN 0-471-25708-7.

[1]

[2]

[3]