משוואה דיפרנציאלית רגילה

במתמטיקה, משוואה דיפרנציאלית היא משוואה שבה הנעלם הוא פונקציה, כאשר המשוואה מתארת תלות בין הפונקציה ונגזרותיה. משוואה דיפרנציאלית רגילה (בקיצור: מד"ר; באנגלית: ordinary differential equation, או בקיצור: ODE) היא משוואה שבה הפונקציה היא פונקציה של משתנה יחיד, בניגוד למשוואה דיפרנציאלית חלקית, שבה הפונקציה היא פונקציה בכמה משתנים, והנגזרות הן נגזרות חלקיות.

למשוואות דיפרנציאליות יש חשיבות רבה בתחומי הנדסה ומדע רבים ביניהם פיזיקה, כימיה, מטאורולוגיה, וכלכלה. הסיבה לכך היא שלרוב אנו יודעים לכתוב משוואה המתארת את החוק שלפיו משתנה האובייקט שאותו אנחנו חוקרים: לדוגמה, מיקום או מהירות של חלקיק, טמפרטורה של נקודות שונות במרחב, ביקוש והיצע של מוצרים, וכן הלאה. משוואות כאלה הן לרוב משוואות דיפרנציאליות, ולכן הן מופיעות בכל תחום בו מנסים לתאר את העולם בכלים מתמטיים.

ניתן להפריד בין סוגים שונים של משוואות על פי הסדר שלהן. סדר של משוואה דיפרנציאלית הוא סדר הנגזרת (מעלת הנגזרת) הגבוה ביותר שמופיע בה. כמו כן, ניתן להבדיל בין משוואה דיפרנציאלית יחידה ובין מערכת של מספר משוואות דיפרנציאליות, שבהן מחפשים יותר מפונקציה אחת. ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ניתנת להצגה כמערכת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} משוואות דיפרנציאליות מסדר ראשון.

מבוא

משוואות דיפרנציאליות רגילות מופיעות בהקשרים שונים במתמטיקה ובמדעים (מדעי הטבע ומדעי החברה). החל בתחומים כמו פיזיקה ואסטרונומיה וכלה בתחומים כמו מטאורולוגיה (חיזוי מזג האוויר), ביולוגיה (התפשטות מחלות מידבקות), כימיה (קצב תגובה), אקולוגיה וכלכלה.

מתמטיקאים רבים תרמו לתורת המשוואות הדיפרנציאליות ביניהם ניוטון, לייבניץ, משפחת ברנולי, ד'אלמבר ואוילר.

דוגמה פשוטה למשוואה דיפרנציאלית רגילה היא החוק השני של ניוטון המתאר את הקשר בין הזמן (t) והמיקום (x) של גוף מסוים, עליו פועל כוח F באמצעות המשוואה הדיפרנציאלית

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ,m \frac{\mathrm{d}^2 x(t)}{\mathrm{d}t^2} = F(x(t))\,}

עבור גוף בעל מסה m. במקרה הזה הפונקציה הנעלמת היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x(t)} .

משוואות מסדר ראשון

באופן כללי, משוואה מסדר ראשון מתוארת בנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\left(y,y',x\right)=0} . פתרון המשוואה היא פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(x)} , כך שכאשר נציב אותה ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F} נקבל 0.

לדוגמה: אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(y,y',x)=y'-2y} , אז המשוואה המתוארת בנוסחה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'-2y=0} . למשוואה זו יש פתרון כללי מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=Ae^{2x}} , כאשר A הוא מספר שייקבע על ידי תנאי הבעיה. ניתן לראות שזהו פתרון למשוואה, שכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (Ae^{2x})'=2Ae^{2x}} , ולכן הצבה ב-F תתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2Ae^{2x}-2Ae^{2x}=0} (לכל A), כמבוקש.

קיימים מספר סוגים של משוואות שיש שיטות מתודיות לפתרונן. ברוב המקרים הבעיה של מציאת פתרון למשוואה דיפרנציאלית הופכת לבעיה של מציאת אינטגרל לפונקציה כלשהי, אם כי גם מציאת אינטגרל אינה שיטתית ולא תמיד ניתנת לביצוע. עם זאת, פתרונות הנתונים על ידי אינטגרל, גם אם לא פתור, יכולים להיות שימושיים מאוד, וגם לא בהכרח קשה לחשב את ערכם המקורב לכל צורך מעשי.

על פי רוב, למשוואה דיפרנציאלית לא קיים פתרון אחד אלא אוסף של פתרונות. לכן נהוג לספק תנאי התחלה שיצביע על הפתרון הפרטי המבוקש. עבור משוואות מסדר ראשון קיים משפט קיום ויחידות המבטיח עבור אוסף רחב של משוואות כי לכל תנאי התחלה קיים פתרון והוא יחיד.

משוואות ליניאריות מסדר ראשון

משוואה ליניארית מסדר ראשון היא משוואה מהצורה $y'+h(x)y+g(x)=0$. כלומר, הן הפונקציה והן נגזרתה מופיעות לבדן ולא כחלק מפונקציה מורכבת (למשל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ln(y)} ). הפונקציה הנעלמת מוכפלת בפונקציה כלשהי של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} ופונקציה נוספת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x} היא "גורם חופשי" של המשוואה.

משוואות ליניאריות ניתנות תמיד לפתרון, והדרך לפתרונן קבועה ופשוטה.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle g(x)\equiv 0} , כלומר המשוואה היא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'+h(x)y=0} , המשוואה נקראת "משוואה ליניארית הומוגנית". יש לשים לב שאין קשר בין משוואה דיפרנציאלית ליניארית הומוגנית ובין משוואה דיפרנציאלית הומוגנית - זהו שם דומה שניתן לשני סוגים שונים של משוואות.

גידול ודעיכה מעריכית

ערך מורחב – דעיכה מעריכית

מקרה פרטי של משוואה ליניארית לא-הומוגנית מסדר ראשון הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'+by=c} , כאשר b ו-c קבועים. פתרון המשוואה ניתן לכתיבה כסכום של פתרון הומוגני ופתרון פרטי (לא-הומוגני): הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y = ke^{-bt} + c/b} , כאשר k קבוע כלשהו. זוהי דעיכה מעריכית לערך קבוע, והיא נפוצה בטבע.

גידול ודעיכה מעריכית נפוצים בתחומי מדע רבים משום שתופעות רבות מקיימות בקירוב משוואה דיפרנציאלית זו. משוואות לוטקה-וולטרה, למשל, משמשות לחקר האוכלוסיות בביולוגיה. במעגלים חשמליים כמו מעגל RC או RL (המכונים מעגלים מסדר ראשון) זהו מתח חשמלי. ריכוז המגיבים בתגובה כימית מסדר ראשון ושל חומרים העוברים התפרקות רדיואקטיבית וכמו כן הטמפרטורה של גוף חם בסביבה קרה גם הם גדלים או דועכים באופן מעריכי.

משוואות ספרביליות (ניתנות להפרדה)

ערך מורחב – הפרדת משתנים

משוואה דיפרנציאלית נקראת ספרבילית אם היא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'-M(x)/N(y)=0} או שניתן להביאה לצורה זו. כלומר, ניתן להפריד בין המשתנה $x$ והמשתנה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y} . דרך כתיבה נוספת למשוואה זו היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M(x) \,\mathrm{d}x=N(y) \,\mathrm{d}y} , כלומר, "מפרקים" את הנגזרת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}} למרכיבים שכל אחד באגף נפרד. נשים לב כי זהו סימון בלבד.

פתרון של משוואה ספרבילית נעשה באמצעות הבאתה לצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M(x) \,\mathrm{d}x=N(y) \,\mathrm{d}y} וביצוע אינטגרציה לשני האגפים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{x_0}^x M(x) \,\mathrm{d}x=\int_{y_0}^y N(y) \,\mathrm{d}y} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_0=y(x_0)} הוא תנאי ההתחלה של המשוואה. (זו אמנם אינה דרך פתרון שכל הצעדים בה תקינים פורמלית, אך ניתן להוכיח כי היא מחזירה את התוצאה הנכונה).

משוואות מדויקות וגורמי אינטגרציה

משוואה דיפרנציאלית מסדר ראשון נקראת מדויקת אם היא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle M(x,y) \,\mathrm{d}x+N(x,y) \,\mathrm{d}y=0} כך שמתקיים ${\frac {\partial M}{\partial y}}={\frac {\partial N}{\partial x}}$.

כדי לפתור משוואה מדויקת, מחפשים פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi(x,y)} אשר תקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\partial \psi}{\partial x}=M,\frac{\partial \psi}{\partial y}=N} . אם נמצאה פונקציה כזו, הפתרון של המשוואה נתון על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathrm{d} \psi(x,y)=0} , או הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \psi (x,y)=\mbox{const}} .

אם משוואה איננה מדויקת, ניתן לנסות ולהביא אותה לצורה של משוואה מדויקת על ידי הכפלת שני האגפים בפונקציה כלשהי. פונקציה שמכפלה בה הופכת את המשוואה למדויקת נקראת גורם אינטגרציה.

שיטת הפתרון, בהינתן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'+p(x)y=r(x)} כאשר y הוא הפונקציה המבוקשת, היא לכפול את השוויון בגורם אינטגרציה - פונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu (x)} כך שאגף שמאל יהיה שווה ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (\mu (x) y)'} . במצב זה ניתן לבצע אינטגרציה של שני האגפים ולקבל פתרון.

כדי למצוא גורם אינטגרציה מתאים, נשתמש בחישוב הנגזרת של המכפלה שהיא

$$(\mu (x)y)'=\mu (x)y'+\mu '(x)y$$

והיא צריכה להיות שווה ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu (x) y'+\mu (x)p(x)y} . מכאן נובע שצריך להתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\mu '(x)}{\mu(x)}=p(x)} .

בעזרת הזהות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{\mu '(x)}{\mu(x)}=(\ln \mu (x))'} , ניתן לראות כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mu (x) = e^{\int p(x) dx}} הוא גורם מתאים להכפלה, ומכאן על ידי אינטגרציה של שני האגפים מתקבל הפתרון.

דוגמה

כדי לפתור את המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'+y=1} נכפול בגורם האינטגרציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{\int 1 dx}=e^x} ונקבל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (e^x y)'=e^x} .

מכאן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^x \cdot y=e^x+c}

ולכן

$y={\frac {e^{x}+c}{e^{x}}}=1+ce^{-x}$.

משוואות הומוגניות

משוואה דיפרנציאלית הומוגנית היא משוואה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'+f(x,y)=0} כאשר מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x,y)=f(tx,ty)} לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle t\in\mathbb{R}} . ניתן להביא משוואה שכזו לצורה של משוואה ספרבילית על ידי החלפת משתנים עם ההצבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=\frac{y}{x}} .

משוואת ברנולי

משוואה דיפרנציאלית מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y'+p(x)y=q(x)y^n} נקראת משוואת ברנולי (על שם המתמטיקאי יאקוב ברנולי). משוואה שכזו ניתן לפתור על ידי ההצבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z=y^{1-n}} , שממנה מקבלים את המשוואה הליניארית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle z'+(1-n)p(x)z=(1-n)q(x)} .

שיטה נוספת לפתרון משוואה זו היא על ידי ההצבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y=u\cdot v} , כך שהמשוואה הדיפרנציאלית מוצגת בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u'v+u(v'+p(x)v)=q(x)(u\cdot v)^n} . מניחים כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v'+p(x)v=0} , מוצאים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v} בעזרת הפרדת משתנים, ולאחר מכן מוצאים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u} בעזרת הפרדת משתנים של המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle u'v=q(x)(u\cdot v)^n} .

משוואות מסדר שני

באופן כללי, משוואה מסדר שני מתוארת על ידי הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\left(y,y',y'',x\right)=0} . משוואות מסדר שני קשות לפתרון יותר מאשר משוואות מסדר ראשון, אך קיימות שיטות פתרון יעילות עבור משוואות ליניאריות מסדר שני. שיטות אלו הן מקרים פרטיים של השיטות הכלליות לטיפול במשוואה ליניארית מסדר כלשהו, אך בשל פשטותן היחסית הן יותר קלות לשימוש ולהבנה מאשר השיטות הכלליות.

משוואות ליניאריות הומוגניות מסדר שני

משוואה ליניארית הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=0} . סכום וכפל בקבוע של פתרונות משוואה זו הם פתרונות בעצמם, ולכן, הפתרונות מהווים מרחב וקטורי, וניתן למצוא בסיס למרחב זה. כלומר, בהינתן שני פתרונות פרטיים בלתי תלויים של המשוואה, כל צירוף ליניארי שלהם מהווה בעצמו פתרון שלה. תנאי הכרחי ומספיק לכך ששני פתרונות יהוו בסיס מובע באמצעות מטריצה של הפונקציות ונגזרותיהן הראשונות, הנקראת ורונסקיאן.

קיימת שיטה כללית שמאפשרת, בהינתן פתרון אחד למשוואה ההומוגנית, למצוא פתרון בלתי תלוי בו. על כן, כדי לפתור משוואה הומוגנית ליניארית מסדר שני, די למצוא פתרון אחד (אבל גם זה יכול להיות קשה מאוד לעיתים).

כאשר הפונקציות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p(x),q(x)} הן קבועים, כלומר המשוואה היא מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y''+ay'+by} , פתרונות המשוואה הם מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{\lambda x}} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda} הוא שורש של הפולינום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x^2+ax+b} (פולינום זה מכונה הפולינום האופייני של המשוואה). אם לפולינום שני שורשים שונים, שני הפתרונות שהם נותנים הם בלתי תלויים. אם יש רק שורש יחיד, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle xe^{\lambda x}} הוא פתרון בלתי תלוי. אם השורשים הם מספרים מרוכבים, ניתן על ידי חיבורם או חיסורם (ובעזרת נוסחת אוילר) וחלוקה בקבוע לקבל שני פתרונות בלתי תלויים ממשיים - אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \lambda\pm i\mu} הם השורשים, מקבלים את הפתרונות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{\lambda x}\sin(\mu x),e^{\lambda x}\cos(\mu x)} .

משוואות ליניאריות אי-הומוגניות מסדר שני

משוואה ליניארית אי-הומוגנית מסדר שני היא משוואה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)} כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r(x)\not\equiv 0} . בניגוד למשוואות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה זו אינם בהכרח פתרונות בעצמם (למעשה ניתן להראות שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_1(x)} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y_2(x)} הם פתרונות של המשוואה אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ay_1(x)+by_2(x)} הוא גם כן פתרון אם ורק אם מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a+b=1} ). פתרון כללי של משוואה דיפרנציאלית ליניארית אי-הומוגנית מסדר שני מתקבל בעזרת הפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (המשוואה שבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle r(x)\equiv 0} ) על ידי כך שמחברים לפתרון זה גם פתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית.

משוואות מסדר n

באופן כללי, משוואה מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} מתוארת על ידי הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F\left (x,y,y',\cdots ,y^{(n)} \right )=0} . ניתן להראות כי כל משוואה דיפרנציאלית מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ניתנת להצגה כמערכת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} משוואות דיפרנציאליות מסדר 1.

משוואות ליניאריות מסדר n

משוואה ליניארית מסדר $n$ היא משוואה מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle .y^{(n)}+a_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots+a_2(x)y''+a_1(x)y'+a_0(x)y=b(x)}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b(x)\equiv 0} המשוואה היא הומוגנית וכאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b(x)\not\equiv 0} המשוואה היא לא הומוגנית (או אי-הומוגנית).

ניתן להכליל את השיטות שבהם משתמשים כדי לפתור משוואה ליניארית מסדר שני כך שיוכלו לשמש לפתרון משוואות מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} . בדומה למשוואות ליניאריות הומוגניות מסדר שני, סכום וכפל בקבוע של פתרונות של משוואה ליניארית הומוגנית מסדר $n$ הם פתרונות בעצמם. כמו כן, בדומה למשוואות ליניאריות אי-הומוגניות מסדר שני, גם במקרה הכללי (של משוואות מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} ) ניתן לקבל את הפתרון הכללי של המשוואה הליניארית האי-הומוגנית על ידי כך שמחברים פתרון פרטי של המשוואה האי-הומוגנית לפתרון הכללי של המשוואה ההומוגנית המתאימה (המשוואה שבה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b(x)\equiv 0} ) כאשר את הפתרון הפרטי למשוואה האי-הומוגנית מוצאים בשיטות דומות לאלו שמשתמשים בהם במקרה של משוואה מסדר שני.

תנאי התחלה

ערך מורחב – תנאי שפה

תנאי התחלה הוא תנאי שעל הפונקציה או על אחת מנגזרותיה לקיים. התנאי הוא מהצורה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^{(n)}(x_0)=y_0} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y^{(0)}\equiv y } .

כאשר פותרים משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} מקבלים פתרון עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} פרמטרים (הנקרא פתרון כללי של המשוואה). כדי שיהיה ניתן למצוא פונקציה מסוימת (ללא פרמטרים) יש צורך ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} תנאי התחלה (פתרון זה נקרא פתרון פרטי).

למערכת של משוואה דיפרנציאלית רגילה מסדר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} תנאי התחלה קוראים בעיית התחלה.

דוגמה

אחת המשוואות הדיפרנציאליות הרגילות הפשוטות ביותר היא המשוואה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y-y'=0}

הפתרון הכללי שלה הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(x)=Ce^x}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle C} הוא פרמטר.

עבור תנאי ההתחלה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(0)=1}

נקבל ש:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(0)=Ce^0=C=1}

ולכן הפתרון של בעיית ההתחלה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{cases}y-y'=0 \\ y(0)=1\end{cases}}

הוא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle y(x)=e^x}

קישורים חיצוניים

• משוואה דיפרנציאלית רגילה, באתר MathWorld (באנגלית)
• משוואה דיפרנציאלית רגילה, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• הסבר על שיטות לפתרון של משוואות דיפרנציאליות רגילות, במיזם UnderWarrior
• משוואות דיפרנציאליות רגילות - סיכום הקורס בטכניון, הפתק הסגול

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משוואה דיפרנציאלית רגילה33125418Q465274