תורת היחסות הכללית

הדמיית מחשב בהילוך איטי של המערכת הכפולה של חורים שחורים, GW150914, כפי שהייתה נראית לצופה קרוב, במהלך 0.33 שניות של שלביה הסופיים: הספיחה הספירלית (inspiral), המיזוג (merge), ושלב הדעיכה (ringdown). שדה הכוכבים שמאחורי החורים השחורים נראה מעוות באופן קיצוני, מסתובב ונע, כתוצאה מתופעת עידוש כבידתי קיצונית, בעוד המרחב-זמן עצמו מתעוות ו"נגרר" על ידי החורים השחורים המסתובבים.

תורת היחסות הכללית (באנגלית: General Relativity) היא התאוריה המודרנית המסבירה את תופעת הכבידה, כלומר את האופן שבו גופים בעלי מסה, כמו כוכבים וכוכבי לכת, מושכים זה את זה. את התאוריה פיתח ופרסם אלברט איינשטיין בשנת 1915, והיא מהווה את אחד מעמודי התווך של הפיזיקה מודרנית. לתאוריה נודעה משמעות היסטורית מכרעת, שכן היא היוותה מהפכה מדעית והחליפה את חוק הכבידה העולמי של ניוטון, ששלט בכיפה במשך יותר מ-200 שנה. הרעיון המרכזי והמהפכני שלה הוא שכבידה אינה כוח בלתי מוסבר הפועל מרחוק, אלא תכונה גאומטרית של היקום עצמו: נוכחות של מסה ואנרגיה גורמת למארג המאוחד של המרחב והזמן, המכונה מרחב-זמן, להתעקם, ותנועתם של גופים מושפעת מעיקום זה.

חוק הכבידה של ניוטון מהווה קירוב מדויק של היחסות הכללית בתנאים של כבידה חלשה ומרחב-זמן כמעט שטוח. עם זאת, תורתו של איינשטיין חוזה תופעות החורגות מתחום המכניקה הקלאסית. תחזיות אלו נוגעות למעבר הזמן, לגאומטריה של המרחב, לתנועת גופים בנפילה חופשית, ולהתקדמות האור, וכוללות תופעות כמו האטה כבידתית של הזמן, עידוש כבידתי, הסחה כבידתית לאדום של אור, אפקט שפירו וקיומם של סינגולריות וחורים שחורים. עד כה, כל מבחני תורת היחסות הכללית איששו את תחזיותיה. פתרונותיה המתפתחים-בזמן של התאוריה מספקים את המסגרת המודרנית לקוסמולוגיה, והובילו לתאוריית המפץ הגדול ולגילוי קרינת הרקע הקוסמית.

בעיה יסודית ובלתי פתורה בפיזיקה המודרנית היא חוסר ההתאמה בין תורת היחסות הכללית לבין מכניקת הקוונטים. בעוד היחסות הכללית מתארת את היקום בסקאלות הגדולות, מכניקת הקוונטים מתארת אותו בסקאלות הקטנות ביותר. עד כה לא נמצאה תאוריה עקבית של כבידה קוונטית שתאחד בין השתיים, וטרם ידוע כיצד ניתן לאחד את כוח הכבידה עם שלושת הכוחות היסודיים האחרים בתאוריה של הכל: החזק, החלש והאלקטרומגנטי. לתאוריה השלכות אסטרופיזיות משמעותיות. היא חוזה את קיומם של חורים שחורים, אזורים במרחב-זמן שהעיקום בהם כה קיצוני עד שדבר, לרבות אור, אינו יכול להימלט מהם. כמו כן, היא חוזה את תופעת העידוש הכבידתי, שבה מסלולו של האור מתעקם בסמוך למסה גדולה, וכתוצאה מכך מתקבלות תמונות מרובות או מעוותות של עצמים אסטרונומיים מרוחקים.

תחזית נוספת היא קיומם של גלי כבידה, הפרעות זעירות במארג המרחב-זמן, המתפשטות ביקום כתוצאה מאירועים קוסמיים אלימים. במשך עשרות שנים נחשבה תחזית זו לתאורטית בלבד, אך בשנת 2015 היא אומתה באופן ישיר. צוות מדענים ב-LIGO, מצפה עצום המורכב מרשת גלאים רגישים במיוחד בארצות הברית, הצליח לזהות לראשונה גלי כבידה שנוצרו מהתנגשות של שני חורים שחורים. בנוסף, התאוריה מהווה את הבסיס למודלים קוסמולוגיים מודרניים של יקום מתפשט.

תורת היחסות הכללית, המוכרת ביופיה המתמטי, תוארה לעיתים קרובות כאחת התאוריות הפיזיקליות האלגנטיות והשלמות ביותר.

היסטוריה

מסעו של אלברט איינשטיין לפיתוח תורת היחסות הכללית החל בעקבות סתירה יסודית שהתגלתה בלב הפיזיקה בסוף המאה ה-19. מצד אחד עמדה תורת האלקטרומגנטיות של מקסוול, שהראתה כי ביקום מהירות האור קבועה בכל מערכת ייחוס; מצד שני עמד חוק הכבידה של ניוטון, שתיאר את הכבידה ככוח הפועל באופן מיידי על פני כל מרחק, כלומר במהירות אינסופית. שתי התאוריות לא יכלו להתקיים זו לצד זו.

המתמטיקאי והפיזיקאי הצרפתי אנרי פואנקרה היה מהראשונים שניסו לגשר על הפער. כבר ב-1905, במסגרת "תאוריית הדינמיקה של האלקטרון", הוא הציע את "עיקרון היחסות" (הרעיון שחוקי הפיזיקה זהים לכל צופה) חייב לחול גם על כוח הכבידה. מכך נבעה מסקנה מהפכנית: אם כבידה אינה כוח מיידי, אלא כפופה למגבלת מהירות האור, אז כל "הפרעה" בשדה הכבידתי – מה שהוא כינה "גלי כבידה" – חייבת גם היא לנוע במהירות האור.

פריצת הדרך של איינשטיין, שהחלה ב-1907, הגיעה מכיוון אחר. בניסוי מחשבתי שכינה "המחשבה המאושרת ביותר בחייו", הוא דמיין אדם הנופל נפילה חופשית ומצא כי במצב זה, תחושת הכבידה נעלמת לחלוטין. מכאן הסיק את עקרון השקילות: באופן מקומי, לא ניתן להבחין בין השפעותיה של תאוצה לבין השפעותיה של כבידה. תובנה זו היוותה את הגשר הרעיוני בין כבידה לבין הגאומטריה של תנועה במרחב-זמן.

כדי לתאר מתמטית את הרעיון שכבידה היא תופעה גאומטרית, איינשטיין נזקק לכלים מתמטיים שחורגים מהגאומטריה האוקלידית. חברו, המתמטיקאי מרסל גרוסמן, סייע לו לאמץ את הגאומטריה הרימנית: ענף מתמטי המאפשר לתאר מרחבים עקומים. גאומטריה זו סיפקה את השפה המושלמת לנסח את הרעיון המרכזי של התאוריה.

לאחר מסע אינטלקטואלי בן שמונה שנים, הגיע איינשטיין לניסוח הסופי של משוואות השדה שלו. משוואות אלו הן "ספר החוקים" של התאוריה: הן קובעות במדויק כיצד צפיפות המסה והאנרגיה מכתיבה את מידת העיקום של המרחב-זמן. בנובמבר 1915, הוא הציג את התאוריה השלמה בפני האקדמיה הפרוסית למדעים.

משוואות השדה של איינשטיין הן לא-ליניאריות ונחשבות קשות לפתרון. בשנת 1916, האסטרופיזיקאי קרל שוורצשילד היה הראשון שמצא פתרון מדויק למשוואות עבור כוכב כדורי, פתרון שהניח את היסודות לתיאור חורים שחורים. באותה שנה הורחב הפתרון גם לגופים טעונים חשמלית, מה שהוביל לפתרון רייסנר-נורדסטרום.

ב-1917, החיל איינשטיין את התאוריה על היקום כולו. בהתאם לתפיסה המדעית שרווחה אז, הוא הניח שהיקום סטטי, והוסיף למשוואותיו את הקבוע הקוסמולוגי, כדי שתתאמנה לתפיסה זו. אולם, עד 1929, עבודתו של האסטרונום אדווין האבל הראתה שהיקום מתפשט. תגלית זו התאימה לפתרונות של אלכסנדר פרידמן וז'ורז' למטר, שהיוו את הבסיס למודל המפץ הגדול. מאוחר יותר, איינשטיין הכריז על הוספת הקבוע הקוסמולוגי כ"טעות הגדולה ביותר בחייו".

האישושים לתורת היחסות הכללית החלו להגיע כמעט מיד עם פרסומה. האישוש המשמעותי הראשון, שהוצג על ידי איינשטיין עוד בנובמבר 1915, היה פתרונה של תעלומה אסטרונומית ותיקה: סטיית מסלולו של כוכב חמה. אסטרונומים ידעו במשך עשרות שנים שמסלולו האליפטי של כוכב הלכת אינו קבוע בחלל; האליפסה כולה מסתובבת לאט סביב השמש, תופעה המכונה "נקיפה" (precession). בעוד שחלק ניכר מנקיפה זו הוסבר על ידי משיכת הכבידה של כוכבי הלכת האחרים, נותרה סטייה זעירה אך עקבית שחוקי ניוטון לא יכלו להסביר. תורתו של איינשטיין חזתה במדויק את הסטייה הנותרת, והסבירה אותה כתוצאה מהאופן שבו מסתה העצומה של השמש מעקמת את המרחב-זמן סביבה.

האישוש שהביא להכרה ציבורית רחבה בתאוריה הגיע כארבע שנים מאוחר יותר, ב-1919, והיה בעל חשיבות מכרעת. משלחת בראשות האסטרונום ארתור אדינגטון יצאה לצפות בליקוי חמה מלא כדי לבחון תחזית מהפכנית של התאוריה: התעקמות אורם של כוכבים רחוקים בעוברו בסמוך לשמש. חשיבותו של ניסוי זה נבעה מכך שהוא עמד בניגוד מוחלט לתפיסה המדעית המקובלת באותה תקופה. על פי תורת האור הגלית, שהייתה התיאוריה השלטת, לאור אין מסה, ולכן הוא לא אמור להיות מושפע מכוח הכבידה כלל, כלומר התחזית המקובלת הייתה לאפס סטייה. לעומת זאת, תורת היחסות הכללית חזתה סטייה מדויקת של כ-1.75 שניות קשת, הנובעת מעיקום המרחב-זמן עצמו. אימות תחזיתו של איינשטיין לא היה רק הוכחה נוספת לתאוריה, אלא אישוש לרעיון הרדיקלי שכבידה אכן מעקמת את המרחב. תוצאות המשלחת תאמו את תחזיתו של איינשטיין, והפכו אותו לדמות מדעית בעלת שם עולמי.

למרות הצלחות אלו, התאוריה נותרה מעט מחוץ לזרם המרכזי. היא הפכה לחלק מרכזי בפיזיקה רק בתקופה המכונה "תור הזהב של היחסות הכללית" (בערך בין 1960 ל-1975). בתקופה זו, פיזיקאים החלו להבין לעומק את מושג החור השחור, לזהות קוואזרים כביטוי אסטרופיזי שלהם, ולבצע מבחנים ניסיוניים מדויקים יותר ויותר של התאוריה.

תורת היחסות הכללית זכתה למוניטין של תאוריה בעלת יופי יוצא דופן. האסטרופיזיקאי סוברהמניאן צ'נדראסקאר ציין כי היא מפגינה את מה שפרנסיס בייקון כינה "זרות בפרופורציה": יופי הנובע מהרמוניה מפתיעה בין מושגים שנחשבו נפרדים לחלוטין – המבנה הגאומטרי של היקום (מרחב-זמן) והתוכן הפיזי שלו (חומר ואנרגיה). אלמנטים נוספים של יופי המיוחסים לתאוריה הם פשטותה, הסימטריה שלה, והעקביות הלוגית המושלמת שלה.בהקדמה לספרו "יחסות: התורה הפרטית והכללית", כתב איינשטיין: "ספר זה מיועד... להעניק תובנה מדויקת על תורת היחסות לאותם קוראים אשר... מתעניינים בתאוריה, אך אינם בקיאים במנגנון המתמטי... החיבור מניח רמת השכלה המקבילה לזו של בחינת בגרות, ו... מידה לא מבוטלת של סבלנות וכוח רצון מצד הקורא".

מהמכניקה הקלאסית ליחסות הכללית

ניתן להבין את תורת היחסות הכללית על ידי בחינת קווי הדמיון והשוני בינה לבין הפיזיקה הקלאסית. הצעד הראשון הוא ההבנה שגם המכניקה הקלאסית וחוק הכבידה של ניוטון מאפשרים תיאור גאומטרי. השילוב של תיאור זה עם חוקי תורת היחסות הפרטית מוביל להסבר היוריסטי (הסבר המבוסס על היגיון ואינטואיציה ולא על הוכחה מתמטית מלאה) של תורת היחסות הכללית.

הגאומטריה של הכבידה הניוטונית: הגדרה מחדש של תנועה אינרציאלית

ניסוי המעלית של איינשטיין מדגים את עקרון השקילות: צופה בחדר סגור אינו יכול להבחין בין תאוצה כלפי מעלה בחלל (שמאל) לבין עמידה נייחת בשדה כבידה (ימין).

בבסיס המכניקה הקלאסית עומד הרעיון של תנועה אינרציאלית: מצב התנועה הטבעי של גוף ששום כוח אינו פועל עליו, כלומר תנועה בקו ישר ובמהירות קבועה. כל סטייה ממסלול זה נחשבת לתאוצה הנגרמת על ידי כוח חיצוני.

אולם, כוח הכבידה הציב אתגר לתפיסה זו. הבעיה אינה רק שכבידה גורמת לסטייה ממסלול ישר, אלא האופן הייחודי שבו היא עושה זאת. בניגוד לכוחות אחרים (כמו כוח מגנטי או דחיפה), כוח הכבידה פועל על כל הגופים באופן זהה לחלוטין, ללא קשר למסתם או להרכבם הכימי. עובדה זו, המכונה "האוניברסליות של הנפילה החופשית", אומתה בניסויים מדויקים כמו ניסוי אטווש. היא פירושה שבנפילה חופשית (ללא התנגדות אוויר), נוצה וכדור תותח יאיצו ויפלו בדיוק באותו האופן. בפיזיקה הניוטונית, שוויון זה בין המסה האינרציאלית (התנגדות הגוף לתאוצה) למסה הכבידתית (עוצמת המשיכה של הגוף) הוא צירוף מקרים קוסמי, ללא הסבר יסודי.

איינשטיין סירב לקבל זאת כצירוף מקרים. בניסוי המחשבתי המפורסם שלו על אדם במעלית, הוא הראה שלא ניתן להבחין בין תאוצה לבין כבידה. מכאן הגיעה הצעתו המהפכנית: להפוך את התמונה. במקום לראות בנפילה חופשית תנועה מאולצת הנגרמת מכוח, איינשטיין טען שנפילה חופשית היא-היא התנועה האינרציאלית והטבעית. לעומת זאת, אדם העומד על הקרקע נמצא במצב לא טבעי, שכן הקרקע מפעילה עליו כוח תמידי הדוחף אותו "למעלה" ומונע ממנו לנוע במסלולו הטבעי והאינרציאלי.

הגדרה מחודשת זו היא המפתח להבנת הכבידה כתופעה גאומטרית. אם התנועה הטבעית וה"ישרה" היא נפילה חופשית, אך אנו רואים שמסלוליהם של גופים נופלים מתעקמים ומתקרבים זה לזה, המסקנה המתבקשת היא שה"מפה" של המציאות עצמה, כלומר המרחב-זמן, היא עקומה. תורה זו, המתארת את הכבידה הניוטונית במונחים גאומטריים, ידועה בשם תורת ניוטון-קרטן.

כדי להמחיש כיצד ניתן לזהות עקמומיות מתוך המרחב עצמו, ניתן להשתמש באנלוגיה של נמלה דו-ממדית החיה על פני כדור. הנמלה, שאינה מודעת לקיומו של ממד שלישי, יכולה להסיק שהעולם שלה עקום על ידי ביצוע מדידות גאומטריות פנימיות. לדוגמה, אם תצייר משולש גדול ותמדוד את זוויותיו, תגלה שסכומן תמיד גדול מ-180 מעלות. תוצאה זו, הסותרת את הגאומטריה האוקלידית, היא הוכחה חותכת לעקמומיות הפנימית של המרחב שלה.

עם זאת, חשוב להכיר במגבלות האנלוגיה: אנחנו, כצופים תלת-ממדיים, רואים את הכדור כעצם עקום בתוך מרחב תלת-ממדי שטוח. כלומר, אנו תופסים את העקמומיות שלו באופן חיצוני. המהפכה של איינשטיין היא הטענה שהעקמומיות של המרחב-זמן שלנו היא פנימית בלבד. אין צורך להניח קיומו של מרחב-על חיצוני ו"ישר" שבתוכו היקום שלנו מתעקם. בתפיסה זו קושי משמעותי באינטואיציה, והרעיון מתואר בצורה מדויקת באמצעות מתמטיקה גבוהה, ובמקרה זה – הגאומטריה הרימנית, המאפשרת לתאר ולמדוד עקמומיות זו מתוך המרחב עצמו.

ההכללה היחסותית

קונוס האור של מאורע A

אף שהכבידה הניוטונית-הגאומטרית היא רעיון מרתק, היא מבוססת על המכניקה הקלאסית, שהיא רק מקרה גבולי של מכניקת היחסות הפרטית. בשפת הפיזיקה, חוקי הפיזיקה צריכים להיות אינווריאנטיים, כלומר קבועים ובלתי משתנים, תחת טרנספורמציה – מעבר בין מערכות ייחוס שונות. במכניקה הקלאסית, הכללים למעבר זה הם של טרנספורמציית גליליי. לעומת זאת, ביחסות הפרטית, שבה מהירות האור קבועה לכל צופה, הכללים הם של טרנספורמציית לורנץ. (הסימטריה המלאה של היחסות הפרטית היא חבורת פואנקרה, הכוללת הזזות, סיבובים והגברות מהירות). ההבדלים בין שתי מערכות החוקים הופכים למשמעותיים במהירויות המתקרבות למהירות האור.

עם סימטריית לורנץ, מופיעים מבנים חדשים. המרכזי שבהם הוא קונוס האור, שאינו עצם פיזי אלא כלי מתמטי-גרפי הממחיש את מבנה הסיבתיות ביקום. עבור כל מאורע A, קונוס האור מגדיר את כל המקומות בעתיד שיוכלו להיות מושפעים ממנו (כמו מאורע B בתמונה) ואת כל המקומות בעבר שיכלו להשפיע עליו. חלוקה זו היא מוחלטת ואינה תלויה בצופה. באופן מתמטי, ניתן להראות שבאמצעות מבנה קונוסי האור, יחד עם מסלוליהם של גופים בנפילה חופשית, ניתן "לשחזר את הגאומטריה" של המרחב-זמן. הכוונה היא ששני סוגי המידע הללו – מה יכול להשפיע על מה (קונוסי האור) ומהם המסלולים הטבעיים (נפילה חופשית) – מספיקים כדי לחשב את כל כללי המדידה של אותו מרחב-זמן. מבנה יסודי זה של הגאומטריה מכונה מבנה קונפורמי.

תורת היחסות הפרטית מוגדרת בהיעדר כבידה, במרחב-זמן "שטוח" שבו ניתן להגדיר מערכת אינרציאלית גלובלית. כאשר מכניסים את הכבידה לתמונה, הגורמת לעיקום המרחב-זמן, רשת גלובלית כזו אינה אפשרית עוד. במקומה, ישנן רק מערכות אינרציאליות מקומיות ומקורבות, שהן למעשה מערכות ייחוס קטנות הנעות יחד עם גופים בנפילה חופשית. בשפת המרחב-זמן: הקווים הישרים המגדירים מערכת אינרציאלית ללא כבידה, הופכים לקווים עקומים זה ביחס לזה, מה שמצביע על כך שהכללת הכבידה דורשת שינוי בגאומטריה של המרחב-זמן.

אך כאן עלתה שאלה עדינה: האם מערכות הייחוס החדשות הללו, הנופלות נפילה חופשית, הן אכן אותן מערכות שבהן חוקי תורת היחסות הפרטית תקפים? ההכרעה הגיעה מניסויים. הנחות שונות לגבי שאלה זו מובילות לתחזיות שונות לגבי מידת ההסחה הכבידתית לאדום – תופעה שבה אור המתפשט מתוך שדה כבידה (כלומר, נע 'נגד' כוח המשיכה) מאבד אנרגיה, וכתוצאה מכך התדירות שלו יורדת וצבעו נוטה לקצה האדום של הספקטרום. המדידות בפועל הראו באופן חד משמעי שמערכות הייחוס בנפילה חופשית הן אכן אלו שבהן האור מתנהג כפי שהוא מתנהג ביחסות הפרטית. הכללתה של קביעה זו, לפיה חוקי תורת היחסות הפרטית תקפים בקירוב טוב במערכות ייחוס הנמצאות בנפילה חופשית, ידועה בשם עקרון השקילות של איינשטיין. זהו עקרון מנחה חיוני להכללת הפיזיקה היחסותית כך שתכלול את הכבידה.

כדי להבין מדוע יש צורך בגאומטריה כללית יותר, כדאי להתחיל במטריקת מינקובסקי. מבחינה מתמטית, מדובר במטריצה (ליתר דיוק, טנזור) המשמשת כ"סרגל" של המרחב-זמן השטוח של תורת היחסות הפרטית. היא קובעת את כללי המדידה של מרחק וזמן במציאות נטולת כבידה, ומבוססת על ההנחה שלמרחב-זמן יש מבנה אחיד וקבוע בכל מקום.

אולם, ניסויים מראים כי הזמן עצמו מושפע מכבידה, תופעה הידועה בשם האטה כבידתית של הזמן. שעונים המוצבים בשדה כבידה חזק (למשל, קרוב לפני כדור הארץ) מתקתקים לאט יותר משעונים בשדה כבידה חלש (למשל, בלווייני GPS). העובדה שקצב הזמן אינו אחיד, אלא משתנה מנקודה לנקודה, סותרת את ההנחה הבסיסית של מטריקת מינקובסקי. מכאן נובע שמטריקת מינקובסקי אינה מספיקה כדי לתאר את היקום, ויש צורך בגאומטריה כללית ועקומה יותר, המשתמשת ב"סרגל" גמיש שמשתנה מנקודה לנקודה. בקנה מידה קטן, כל מערכות הייחוס בנפילה חופשית הן שקולות, ובקירוב טוב הן "מינקובסקיות". כתוצאה מכך, יחסות כללית עוסקת בהכללה עקומה של מרחב מינקובסקי המכונה מטריקה פסאודו-רימנית. רימנית על שום התשתית המתמטית מבוססת על עבודתו של ברנהרד רימן, שפיתח את הגאומטריה של מרחבים עקומים. "מטריקה רימנית" היא מעין "סרגל" גמיש למדידת מרחקים על פני משטחים עקומים, כמו פני כדור הארץ. התואר "פסאודו" מתווסף מכיוון שבניגוד לגאומטריה רימנית רגילה (שבה כל הממדים חיוביים), המטריקה של איינשטיין שומרת על המאפיין הייחודי של ממד הזמן ביחסות – הסימן ההפוך (מינוס) שלו. "טריק" מתמטי זה הוא שמשמר את מבנה הסיבתיות (קונוס האור) גם במרחב-זמן עקום.

במרחב-זמן עקום, מושג התנועה ה"ישרה" (האינרציאלית) אינו מובן מאליו, ויש צורך בכלל מתמטי שיגדיר אותו. כלל זה הוא קשר לוי-צ'יוויטה. הוא מספק את ההגדרה המדויקת להעתקה מקבילה (parallel transport) – תהליך המאפשר להסיע וקטור (המתאר כיוון) לאורך מסלול תוך שמירה על כיוונו קבוע ככל האפשר ביחס לגאומטריה המקומית. באמצעות כלל זה, מוגדרים המסלולים הישרים ביותר האפשריים במרחב-זמן העקום – הגאודזים.

קשר לוי-צ'יוויטה הוא הקשר המתמטי הייחודי התואם למטריקה, והוא זה שמבטיח את קיומו של עקרון השקילות בכך שהוא הופך את המרחב ל"מינקובסקי מקומית" (כלומר, מבטיח שבכל נקודה ניתן לבחור מערכת ייחוס שבה השפעות הכבידה נעלמות לרגע; במערכת זו, הנגזרות החלקיות הראשונות של המטריקה ומקדמי הקשר מתאפסים).

משוואות השדה של איינשטיין

לאחר שפותחה הגרסה הגאומטרית-יחסותית להשפעותיה של הכבידה, נותרה השאלה המרכזית: מהו מקור הכבידה? בכבידה הניוטונית, התשובה פשוטה: המסה. אולם, בתורת היחסות הפרטית, הקובעת שקילות בין מסה לאנרגיה (E=mc²), המסה היא רק חלק מכמות כללית יותר. כמות זו מכונה טנזור מאמץ-אנרגיה. זהו אובייקט מתמטי המשמש לתיאור מלא של כל החומר והאנרגיה באזור נתון. הוא אינו כולל רק את צפיפות המסה והאנרגיה, אלא גם את התנע, הלחץ והמאמצים הפנימיים של החומר. על פי תורת היחסות הכללית, כל הרכיבים הללו יחד, ולא רק המסה, הם שתורמים לעיקום המרחב-זמן.

השלב הבא היה להתאים את הטנזור מהפיזיקה של מרחב-זמן שטוח לזו של מרחב-זמן עקום. כאן נכנס לתמונה עקרון השקילות. עיקרון זה קובע שבכל אזור קטן של מרחב-זמן, צופה בנפילה חופשית יחווה את חוקי היחסות הפרטית. הדבר איפשר לאיינשטיין להגדיר את טנזור המאמץ-אנרגיה באופן עקבי בכל נקודה במרחב-זמן העקום.

כעת, היה צורך לקשור בין מקור הכבידה (טנזור המאמץ-אנרגיה) לבין ביטויה הגאומטרי (עקמומיות המרחב-זמן). איינשטיין הבין כי טבעי לקשור את הטנזור לטנזור ריצ'י – אובייקט מתמטי המתאר היבט מסוים של העקמומיות. באופן אינטואיטיבי, טנזור ריצ'י מודד כיצד נפחו של "ענן" חלקיקים דמיוני בנפילה חופשית משתנה עם הזמן. שינוי זה בנפח הוא הביטוי הישיר של כוחות הגאות והשפל הנגרמים מכבידה. הקשר טבעי מכיוון שהוא מקשר בין הסיבה (נוכחות חומר ואנרגיה) לתוצאה הפיזית המובהקת ביותר שלה (כוחות גאות). אולם נותר תנאי הכרחי אחרון: חוק שימור האנרגיה והתנע. בפיזיקה, חוק זה מבוטא מתמטית בכך שטנזור המאמץ-אנרגיה הוא "חסר דיברגנץ". משמעות הדבר היא שאנרגיה ותנע אינם יכולים להיווצר יש מאין או להיעלם, אלא רק לזרום ממקום למקום. כדי לנסח חוק שימור זה במרחב-זמן עקום, לא ניתן להשתמש בנגזרות חלקיות רגילות, שכן אלו אינן מתחשבות בעיקום "רשת הקואורדינטות" עצמה. במקומן, יש להשתמש בנגזרות קווריאנטיות – כלי מתמטי מתוחכם יותר, היודע לחשב שינויים אמיתיים בתוך גאומטריה עקומה.

דא עקא טנזור ריצ'י לבדו אינו חסר דיברגנץ קווריאנטי. אתגרו של איינשטיין היה למצוא את הצירוף המתמטי המדויק של טנזור ריצ'י והמטריקה, שכן מקיים את חוק השימור הזה. צירוף זה נקרא טנזור איינשטיין. איינשטיין השווה בין טנזור איינשטיין (הצד הגאומטרי, המקיים את חוק השימור) לבין טנזור המאמץ-אנרגיה (הצד הפיזי, המקיים את חוק השימור). התוצאה היא משוואות השדה של איינשטיין המתארת כיצד נוכחותם של חומר ואנרגיה מכתיבה את הגאומטריה של המרחב-זמן.

$G_{\mu \nu }\equiv R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }=\kappa T_{\mu \nu }$

כדי להבין את המשוואה, כדאי לפרק את המונחים המרכזיים:

• טנזור ומטריצה: ניתן לחשוב על כל טנזור במשוואה זו, באופן פשוט, כמטריצה בגודל 4x4. בעוד שמספר (סקלר) מתאר כמות, ווקטור מתאר כמות וכיוון, טנזור מתאר תכונות מורכבות יותר התלויות בכיוונים מרובים במרחב-זמן.
• האינדקסים הקטנים (האותיות היווניות $\mu$ ו-$\nu$) הם מעין "תוויות" המציינות את השורה והעמודה במטריצה. כל אינדקס יכול לקבל אחד מארבעה ערכים (0, 1, 2, 3), המייצגים את ארבעת ממדי המרחב-זמן: ממד הזמן (0) ושלושת ממדי המרחב (x, y, z). לכן, כל טנזור במשוואה הוא למעשה אוסף של מספרים המאורגנים במטריצה, שכל אחד מהם מתאר היבט אחר של הפיזיקה בנקודה מסוימת.

כעת, נבחן את שני אגפי המשוואה:

• אגף ימין (ה"סיבה"): בצד ימין נמצא טנזור המאמץ-אנרגיה ($T_{\mu \nu }$), המוכפל בקבוע פרופורציה ($\kappa$). טנזור זה הוא התיאור המלא של כל החומר והאנרגיה באזור נתון – צפיפות המסה, תנועתה, הלחץ והמאמצים הפנימיים שלה. זהו צד ה"מקור" של הכבידה.
• אגף שמאל (ה"תוצאה"): בצד שמאל נמצא טנזור איינשטיין ($G_{\mu \nu }$), שהוא צירוף מתמטי מדויק של טנזור ריצ'י ($R_{\mu \nu }$) והמטריקה. טנזור זה הוא התיאור המלא של הגאומטריה והעקמומיות של המרחב-זמן.

המשוואה כולה, אם כן, קובעת קשר ישיר בין החומר והאנרגיה (צד ימין) לבין האופן שבו המרחב-זמן מתעקם (צד שמאל). מכיוון שכל טנזור הוא למעשה מטריצה, המשוואה היא למעשה מערכת של 10 משוואות דיפרנציאליות חלקיות מצומדות. כדי להתאים את תחזיות התאוריה לתצפיות (למשל, מסלולי כוכבי הלכת), נמצא שקבוע הפרופורציה $\kappa$ שווה ל-$\kappa =8\pi G/c^4$, כאשר $G$ הוא קבוע הכבידה ו-$c$ היא מהירות האור. בהיעדר חומר, טנזור המאמץ-אנרגיה מתאפס, ומתקבלות משוואות איינשטיין בריק.

$R_{\mu \nu }=0.$

לאחר הגדרת האופן שבו החומר והאנרגיה מעקמים את המרחב-זמן, נותרה השאלה כיצד גופים נעים בתוך אותו מרחב-זמן עקום. בתורת היחסות הכללית, מסלולו של חלקיק חופשי מכל כוח חיצוני שאינו כבידה הוא סוג מסוים של גאודזה במרחב-זמן עקום. במילים אחרות, חלקיק הנע או נופל בחופשיות, נע תמיד לאורך המסלול הישר ביותר האפשרי.

המשוואה הגיאודזית היא:

$\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{s}^2}+{\mathrm{\Gamma }}^{\mu }\alpha \beta \frac{d{x}^{\alpha }}{ds}\frac{d{x}^{\beta }}{ds}=0,$

כאשר

$s$

הוא פרמטר של התנועה (כמו הזמן עצמי) ו-

${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }\alpha \beta$

משוואה זו היא המקבילה של חוק התנועה הראשון של ניוטון (חוק ההתמדה) בתורת היחסות הכללית. היא קובעת את מסלול התנועה הטבעי של גוף שאינו נתון להשפעת כוחות חיצוניים (פרט לכבידה), ומראה כי מסלול זה הוא "הקו הישר" ביותר האפשרי (ה"גאודזה") במרחב-זמן עקום.

כדי להבין את המשוואה, יש לפרק את האגף השמאלי שלה לשני איברים נפרדים:

• $\frac{d^2{x}^{\mu }}{d{s}^2}$: איבר זה מייצג את התאוצה הקואורדינטית של החלקיק. כלומר, זהו השינוי במהירות כפי שהוא נמדד על ידי צופה המשתמש במערכת קואורדינטות מסוימת (מעין "רשת" שרירותית המונחת על המרחב-זמן). במרחב-זמן עקום, רשת זו אינה "ישרה", ולכן תאוצה זו אינה בהכרח מייצגת תאוצה פיזיקלית אמיתית.
• ${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }\alpha \beta \frac{d{x}^{\alpha }}{ds}\frac{d{x}^{\beta }}{ds}$: איבר זה הוא "איבר התיקון" הגאומטרי. הוא מכמת את הכוח המדומה שפועל על הגוף, עקב היות המרחב-זמן עקום.
  • סמלי כריסטופל (${\mathrm{\Gamma }}^{\mu }\alpha \beta$): מכילים את כל המידע על עקמומיות המרחב-זמן בנקודה נתונה. הם מתארים כיצד "רשת הקואורדינטות" עצמה מתעקמת, ומתקנים את התאוצה הקואורדינטית כדי לבטל את השפעתם של "כוחות מדומים" הנובעים מבחירת מערכת הייחוס.
  • האינדקסים היווניים ($\mu ,\alpha ,\beta$): הם תוויות המציינות את ארבעת ממדי המרחב-זמן (0 לזמן, 1, 2, 3 למרחב). הסכם הסכימה של איינשטיין קובע כי כאשר אינדקס מופיע פעמיים, יש לסכום על כל ארבעת הערכים האפשריים שלו.

משמעות המשוואה כולה היא שהסכום של שני האיברים – כלומר, התאוצה הפיזיקלית האמיתית – שווה לאפס. במילים אחרות, המשוואה קובעת שהתאוצה הנצפית של החלקיק (האיבר הראשון) נובעת אך ורק מעקמומיות המרחב-זמן (האיבר השני), ולא מהפעלת כוח כלשהו. החלקיק נע במסלולו הטבעי והאינרציאלי, והמשוואה היא הדרך המתמטית המדויקת להגדיר מסלול זה בתוך גאומטריה עקומה.

הכוח השקול בתורת היחסות הכללית

בתורת היחסות הכללית, ניתן לתאר את האנרגיה הפוטנציאלית הכבידתית האפקטיבית של גוף בעל מסה m הנע סביב גוף מרכזי מסיבי M באמצעות הנוסחה הבאה:

$U_f(r)=-\frac{GMm}{r}+\frac{L^2}{2m{r}^2}-\frac{GM{L}^2}{m{c}^2{r}^3}$

מתוך האנרגיה הפוטנציאלית, ניתן לגזור את הכוח הכולל (המשמר) הפועל על הגוף:

$F_f(r)=-\frac{GMm}{r^2}+\frac{L^2}{m{r}^3}-\frac{3GM{L}^2}{m{c}^2{r}^4}$

כאשר L הוא התנע הזוויתי של הגוף. משוואת הכוח הזו היא דרך נוחה להבין כיצד תורת היחסות הכללית מרחיבה את הפיזיקה הניוטונית. ניתן לפרק אותה לשלושה איברים בעלי משמעות פיזיקלית ברורה:

1. האיבר הראשון ($-\frac{GMm}{r^2}$): כוח הכבידה המוכר מחוק הכבידה העולמי של ניוטון.
2. האיבר השני ($+\frac{L^2}{m{r}^3}$): הכוח הצנטריפוגלי, הכוח המדומה המוכר גם מהמכניקה הקלאסית, "דוחף" גוף החוצה כאשר הוא נע במסלול מעגלי.
3. האיבר השלישי ($-\frac{3GM{L}^2}{m{c}^2{r}^4}$): התיקון היחסותי, אינו קיים בתורת ניוטון, והוא התרומה החדשה של תורת היחסות הכללית. קטן מאוד ברוב המקרים, אך הופך למשמעותי עבור גופים הנעים במהירות גבוהה בשדות כבידה חזקים. תיקון זה הוא שאחראי, בין היתר, להסבר המדויק של סטיית מסלולו של כוכב חמה.

תאוריות כבידה חלופיות

תאוריות כבידה חלופיות מנסות לתאר את תופעת הכבידה באופן המתחרה בתורת היחסות כללית של איינשטיין. ניתן לחלק ניסיונות אלה לארבע קטגוריות רחבות:

1. תאוריות כבידה קלאסיות: אינן מערבות מכניקת הקוונטים או איחוד כוחות.
2. כבידה קוונטית: תאוריות המנסות לתאר את הכבידה בשפת מכניקת הקוונטים (הפיזיקה של העולם הזעיר), לרוב באמצעות חלקיק היפותטי הנושא את כוח הכבידה, ה"גרביטון".
3. תורות שדה מאוחדות: תאוריות המנסות לאחד את הכבידה עם אחד או יותר משלושת כוחות היסוד האחרים (הכוח האלקטרומגנטי, הכוח החזק והכוח החלש) במסגרת תיאורית אחת.
4. התאוריה של הכל: המטרה הסופית של הפיזיקה – תאוריה אחת שתתאר את כל ארבעת כוחות היסוד ותסביר את כל תופעות הטבע.

אף אחת מהתאוריות החלופיות הללו לא זכתה לקבלה רחבה בקהילה המדעית.

תורת היחסות הכללית עמדה בהצלחה במבחנים ניסיוניים רבים. עם זאת, כאשר מיישמים אותה לתצפיות אסטרונומיות מתגלה פער. כדי שהתאוריה תתאים לתצפיות, יש להוסיף ליקום שני רכיבים מסתוריים שאיננו יודעים מהם:

1. חומר אפל: מסה בלתי נראית, שקיומה מוסק מהשפעתה הכבידתית החזקה על תנועת גלקסיות. בלעדיה, הגלקסיות היו צריכות להתפרק ולהתפזר בחלל.
2. אנרגיה אפלה: סוג היפותטי של אנרגיה הגורם להתפשטות המואצת של היקום, בניגוד לכוח הכבידה שאמור להאט אותה.

שילובם של רכיבים אלה עם תורת היחסות הכללית יצר את מודל למדא - CDM (ΛCDM), המהווה את המודל הקוסמולוגי הסטנדרטי והמוצלח ביותר כיום. עם זאת, קיימים קשיים, העובדה שהחומר האפל אינו חלק מהמודל הסטנדרטי של פיזיקת החלקיקים (התאוריה המתארת את כל החלקיקים המוכרים לנו), והמודלים של האנרגיה האפלה אינם תואמים באופן מלא לנתונים, ולפיכך יש פתח למחקר של תאוריות כבידה חלופיות.

הגדרה ויישומים בסיסיים

ההסברים שהוצגו בפרק הקודם מכילים את כל המידע הדרוש כדי להגדיר את תורת היחסות הכללית, לתאר את תכונותיה המרכזיות, ולהתייחס לשאלה חיונית בפיזיקה: כיצד ניתן להשתמש בתאוריה לבניית מודלים של המציאות.

הגדרה ותכונות בסיסיות

תורת היחסות הכללית היא תאוריה מטרית של הכבידה. כלומר, תאוריה שבה תופעות הכבידה מוסברות באמצעות הגאומטריה של המרחב-זמן, המוגדרת על ידי המטריקה. בליבת התאוריה עומדות משוואות השדה של איינשטיין, המתארות את הקשר בין הגאומטריה של יריעה פסאודו-רימנית ארבע-ממדית (האובייקט המתמטי המתאר מרחב-זמן עקום), לבין פיזור האנרגיה, התנע והמאמץ (טנזור מאמץ-אנרגיה) הכלולים באותו מרחב-זמן.

תופעות שבמכניקה הקלאסית יוחסו לפעולתו של כוח הכבידה (כמו נפילה חופשית, תנועה מסלולית ומסלולי חלליות), מתוארות ביחסות כללית כתנועה אינרציאלית בתוך גאומטריה עקומה; אין כוח כבידה המסיט עצמים ממסלולם הטבעי והישר. במקום זאת, הכבידה מתבטאת בשינויים בתכונות המרחב והזמן, אשר בתורם משנים את המסלולים הישרים-ביותר שעצמים ינועו בהם באופן טבעי. העקמומיות, מצידה, נגרמת על ידי האנרגיה והמאמץ של החומר. במילותיו של הפיזיקאי ג'ון וילר: "המרחב-זמן אומר לחומר כיצד לנוע; החומר אומר למרחב-זמן כיצד להתעקם".

בעוד שהפיזיקה הקלאסית מתארת את הפוטנציאל הכבידתי באמצעות פוטנציאל סקלרי (מספר בודד בכל נקודה במרחב), תורת היחסות הכללית מחליפה אותו בטנזור סימטרי מדרגה שנייה (אובייקט מורכב יותר, דמוי מטריצה, המתאר את הגאומטריה). עם זאת, במקרים מסוימים, כמו שדות כבידה חלשים ותנועה במהירות נמוכה יחסית למהירות האור, תחזיות התאוריה מתכנסות לאלו של חוק הכבידה העולמי של ניוטון.

מכיוון שהיא בנויה באמצעות טנזורים, תורת היחסות הכללית מפגינה קווריאנטיות כללית: חוקיה – וחוקים נוספים המנוסחים במסגרתה – נראים זהים בכל מערכת קואורדינטות. יתר על כן, התאוריה אינה מכילה מבנים גאומטריים קבועים מראש; היא בלתי תלויה ברקע (Background-independent). כלומר, המרחב-זמן אינו "במה" קבועה שעליה מתרחשת הפיזיקה, אלא הוא עצמו משתתף דינמי שצורתו נקבעת על ידי החומר שבתוכו. בכך היא מקיימת גרסה מחמירה יותר של עקרון היחסות הכללי, לפיו חוקי הפיזיקה זהים עבור כל הצופים. באופן מקומי, כפי שבא לידי ביטוי בעקרון השקילות, המרחב-זמן הוא "מינקובסקי" (כלומר, שטוח), וחוקי הפיזיקה מצייתים לסימטריית לורנץ מקומית.

בניית מודלים

הרעיון המרכזי בבניית מודלים ביחסות כללית הוא מציאת פתרון למשוואות השדה של איינשטיין. פתרון כזה הוא למעשה "יקום-מודל" – תיאור מתמטי שלם של יקום אפשרי המציית לחוקי היחסות הכללית. הוא מורכב מתיאור מדויק של הגאומטריה של המרחב-זמן ושל פיזור החומר והאנרגיה בתוכו.

פתרונות מדויקים

משוואות איינשטיין הן משוואות מורכבות ביותר, ולכן קשה למצוא להן פתרונות מדויקים. עם זאת, מספר פתרונות מדויקים למצבים אידיאליים ידועים, וחלקם בעלי חשיבות פיזיקלית עצומה.

• פתרונות של חורים שחורים: פתרון שוורצשילד, פתרון רייסנר-נורדסטרום ומטריקת קר היו הפתרונות המתמטיים הראשונים שהוכיחו כי עצמים כמו חורים שחורים, שמהם דבר אינו יכול להימלט, הם תוצאה ישירה של תורת היחסות הכללית.
• פתרונות קוסמולוגיים: מטריקת פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר ויקום דה-סיטר מתארים יקום דינמי ומתפשט, ומהווים את הבסיס למודל המפץ הגדול.

קיימים גם פתרונות בעלי עניין תאורטי רב, החוקרים אפשרויות אקזוטיות של המרחב-זמן:

• יקום גדל: זהו פתרון מתמטי המתאר יקום מסתובב. כתוצאה מהסיבוב, המרחב-זמן מעוות באופן כה קיצוני עד שהוא מאפשר מסע בזמן לעבר – כלומר, קיומם של מסלולים במרחב-זמן החוזרים לנקודת ההתחלה שלהם לא רק במרחב, אלא גם בזמן. זהו מודל תאורטי בלבד, שאינו מתאר את היקום שלנו.
• פתרון טאוב-נאט: מודל של יקום שהוא הומוגני (נראה זהה מכל נקודה) אך אנאיזוטרופי (אינו נראה זהה בכל כיוון; יש לו כיוון מועדף).
• מרחב אנטי-דה סיטר (AdS): זהו מודל של יקום בעל עקמומיות שלילית קבועה (בניגוד ליקום שטוח או כדורי). חשיבותו עלתה לאחרונה בהקשר של השערת מלדסנה (AdS/CFT) – רעיון פורץ דרך בפיזיקה תאורטית, המציע קשר מתמטי עמוק בין תאוריית כבידה (כמו תורת המיתרים) במרחב אנטי-דה סיטר, לבין תורת שדות קוונטית (ללא כבידה) החיה על "השפה" של אותו מרחב.

פתרונות מקורבים

בשל הקושי במציאת פתרונות מדויקים, פיזיקאים משתמשים בשיטות קירוב.

• יחסות נומרית: תחום שבו משתמשים במחשבי-על כדי ליצור סימולציות של המרחב-זמן ולפתור את משוואות איינשטיין עבור מצבים מורכבים, כמו התנגשות של שני חורים שחורים.
• תורת ההפרעות (Perturbation Theory):
  1. כבידה ליניארית: שיטה זו משמשת במצבים של כבידה חלשה מאוד, שבהם המרחב-זמן כמעט שטוח. בשיטה זו, "מיישרים" באופן מלאכותי את המשוואות המורכבות והופכים אותן לגרסאות פשוטות (ליניאריות) שקל יותר לפתור. היא שימושית במיוחד לתיאור גלי כבידה הרחק ממקורם.
  2. הפיתוח הפוסט-ניוטוני: זוהי שיטה מדויקת יותר, המבוססת על ההיגיון הבא: מתחילים מהכבידה הניוטונית (שהיא קירוב טוב), ואז מוסיפים לה סדרה של "תיקונים" קטנים יותר ויותר, הנובעים מתורת היחסות הכללית. האיבר הראשון בסדרה הוא חוק ניוטון, האיבר השני הוא התיקון היחסותי הראשון, וכן הלאה. שיטה זו מאפשרת לחשב תחזיות בדיוק גבוה במערכות כמו מערכת השמש.
  3. הפורמליזם הפוסט-ניוטוני המוכלל (PPN): זוהי מעין "שפת-על" המאפשרת להשוות בין תורת היחסות הכללית לתאוריות כבידה חלופיות. היא מבוססת על משוואה כללית עם עשרה פרמטרים. כל תאוריית כבידה חוזה ערכים שונים לפרמטרים אלה. על ידי מדידת הערכים בפועל (למשל, סטיית אור הכוכבים), ניתן לבדוק איזו תאוריה תואמת למציאות.

משמעות התיאוריה של איינשטיין

הסטת מסלולו של אור (הנפלט מהמיקום הכחול) בסמוך לגוף דחוס (באפור)

תרשים סכמטי של ההסחה הכבידתית לאדום של גל אור הנמלט מפני השטח של גוף מסיבי

לתורת היחסות הכללית יש מספר השלכות פיזיקליות. חלקן נובעות ישירות מעקרונות היסוד של התאוריה, בעוד שאחרות התבהרו רק במהלך שנים רבות של מחקר שבאו לאחר פרסומו הראשוני של איינשטיין.

התרחבות זמן כבידתית והסחה לאדום ולכחול

ערך מורחב – התרחבות זמן כבידתית

אחת מהשלכותיה המרכזיות של תורת היחסות הכללית היא שהכבידה משפיעה על קצב התקדמות הזמן. בהנחה שעקרון השקילות תקף, התאוריה חוזה כי זמן יחלוף לאט יותר ככל ששדה הכבידה חזק יותר.

ניתן להמחיש את האפקט, המכונה האטה כבידתית של הזמן, באמצעות ניסוי מחשבתי: אם אחד מזוג תאומים יישאר על כדור הארץ, בעוד השני יצא למסע בחללית המקיפה חור שחור ממרחק בטוח (כלומר, שוהה ב"בור כבידה" עמוק), הזמן עבורו יחלוף לאט יותר באופן משמעותי. כשיחזור לכדור הארץ, הוא יגלה שהוא צעיר מאחיו שנשאר מאחור. אפקט זה מתרחש בכל מקום, גם על פני כדור הארץ, אך הוא זעיר מכדי שנרגיש בו ביומיום.

אור הוא סוג של קרינה אלקטרומגנטית, המתפשטת כגל. לכל גל יש אורך גל – המרחק בין שני שיאים סמוכים. אורך הגל קובע את צבע האור ואת האנרגיה שלו:

• אורך גל קצר: תדירות גבוהה, אנרגיה גבוהה (למשל, אור כחול וסגול).
• אורך גל ארוך: תדירות נמוכה, אנרגיה נמוכה (למשל, אור אדום וכתום).

הקשר בין האטה כבידתית של הזמן לבין הסחת התדר נובע מההגדרה הבסיסית של תדירות. תדירות היא מדד למספר המחזורים של תהליך מחזורי כלשהו (כמו תנודה של גל אור) המתרחשים ביחידת זמן. כאשר מקור מחזורי נמצא עמוק בשדה כבידה, הזמן עבורו חולף לאט יותר יחסית לצופה מרוחק. כתוצאה מכך, הצופה המרוחק ימדוד פחות מחזורים של התהליך בכל שנייה, כלומר, הוא ימדוד תדירות נמוכה יותר מזו הנמדדת בסביבת המקור. אם התהליך הוא פליטת אור, תדירות נמוכה יותר נצפית כהסחה לאדום (Redshift), אורך גל ארוך יותר, והיא שקולה לאובדן אנרגיה של האור כנגד שדה הכבידה. באופן הפוך, כאשר אור מתפשט אל תוך שדה כבידה, צופה הנמצא בשדה ימדוד תדירות גבוהה יותר מזו של המקור, תופעה הנצפית כהסחה לכחול (Blueshift), אורך גל קצר יותר, והיא שקולה לצבירת אנרגיה.

ההסחה הכבידתית לאדום נמדדה במעבדה (למשל, בניסוי פאונד-רבקה) ובאמצעות תצפיות אסטרונומיות. האטה כבידתית של הזמן נמדדה פעמים רבות באמצעות שעונים אטומיים מדויקים, והיא מאומתת באופן שוטף כחלק מהפעלתה התקינה של מערכת ה-GPS (שחייבת לתקן את העובדה שהשעונים בלוויינים מתקדמים מהר יותר מהשעונים על הקרקע).

מבחנים בשדות כבידה חזקים יותר מתבצעים באמצעות תצפיות על פולסרים כפולים. פולסרים הם כוכבי נייטרונים מסתובבים במהירות, הפולטים קרינה בפולסים קבועים ומדויקים להפליא, ולכן משמשים כ"שעונים קוסמיים" טבעיים ומאפשרים למדוד את השפעות התאוריה בדיוק רב.

כל התוצאות עד כה תואמות את תחזיותיה של תורת היחסות הכללית. עם זאת, מבחנים אלה מאששים את עקרון השקילות, שהוא עקרון יסוד גם בתאוריות כבידה אחרות. לכן, ברמת הדיוק הנוכחית, הם אינם יכולים להכריע באופן מוחלט בין תורת היחסות הכללית לבין תאוריות חלופיות מסוימות המבוססות גם הן על עיקרון זה.

סטיית אור ואפקט העיכוב של שפירו

תורת היחסות הכללית חוזה כי מסלולו של אור יתעקם בחולפו בסמיכות לגוף מסיבי, בהתאם לעקמומיות המרחב-זמן. אפקט זה אומת לראשונה בתצפיות אור כוכבים או קוואזרים רחוקים, שהוסט ממסלולו בעוברו בסמוך לשמש.

תחזית זו, ותחזיות הקשורות בה, נובעות מהעובדה שאור נע תמיד לאורך מסלול המכונה גאודזת-אור (או "גאודזת-אפס"). זוהי הכללה של מושג הקו הישר שבו האור נע בפיזיקה הקלאסית, והוא מהווה ביטוי לעקרון קביעות מהירות האור ביחסות הפרטית. בחינה של מודלים מתאימים של מרחב-זמן (כמו פתרון שוורצשילד החיצוני, או הפיתוח הפוסט-ניוטוני עבור מערכות מרובות מסות) מגלות השפעות שונות של כבידה על התפשטות האור.

אף שניתן לגזור התעקמות מסוימת של אור גם באמצעות הרחבת עקרון הנפילה החופשית לאור (כלומר, התייחסות לאור כאל חלקיק המושפע מכבידה), זווית הסטייה המתקבלת בחישובים אלה היא בדיוק מחצית מהערך שחוזה תורת היחסות הכללית. הסיבה לכך היא שחישובים פשוטים אלה מתחשבים רק בהשפעת הכבידה על הזמן (האטה כבידתית), אך מזניחים את השפעתה על עיקום המרחב עצמו. תורת היחסות הכללית כוללת את שתי ההשפעות, ולכן חוזה אפקט כפול בגודלו.

סטיית האור כרוכה באופן הדוק לאפקט שפירו (עיכוב זמן כבידתי), לפיו לאותות אור לוקח זמן רב יותר לנוע דרך שדה כבידה מאשר בהיעדרו. תחזית זו אומתה בהצלחה במבחנים רבים, החל ממדידת עיכוב אותות מכ"ם שהוחזרו מכוכבי לכת, ועד למדידות מדויקות של אותות מגשושיות חלל. במסגרת הפורמליזם הפוסט-ניוטוני המוכלל (PPN), מדידות סטיית האור והתרחבות הזמן הכבידתית קובעות פרמטר המכונה גמא (γ), המבטא את מידת השפעתה של הכבידה על הגאומטריה של המרחב.

גלי כבידה

ערך מורחב – גלי כבידה

טבעת של חלקיקי בוחן מתעוותת בהשפעת גל כבידה חולף (הגל מוצג בקירוב ליניארי והאפקט מוגבר לצורך המחשה)

אחת התחזיות המרכזיות של תורת היחסות הכללית, אותה הציג איינשטיין כבר ב-1916, היא קיומם של גלי כבידה. ההיגיון מאחורי התחזית נובע ישירות מליבת התאוריה: אם מסה גורמת למרחב-זמן להתעקם, אזי מסה הנעה בתאוצה (למשל, שני חורים שחורים המקיפים זה את זה) חייבת ליצור "אדוות" או הפרעות מתפשטות באותו עיקום. הפרעות אלו, המתפשטות במהירות האור, הן גלי הכבידה.

זוהי אחת מכמה אנלוגיות בין כבידה בשדה חלש לבין אלקטרומגנטיות: כשם שמטען חשמלי הנע בתאוצה יוצר הפרעות בשדה האלקטרומגנטי (כלומר, גלים אלקטרומגנטיים), כך מסה הנעה בתאוצה יוצרת הפרעות במארג המרחב-זמן עצמו. מבחינה מתמטית, גל כבידה הוא מעין אדווה במטריקה של המרחב-זמן, שינוי מחזורי בכללי המדידה של מרחק וזמן, המתפשט ביקום.

ב-11 בפברואר 2016, צוות LIGO הודיע כי הצליח לזהות באופן ישיר גלי כבידה. הזיהוי התאפשר בזכות אירוע קוסמי אלים למדי, מיזוג של שני חורים שחורים. אירוע כזה, שבו מסות אדירות מאיצות למהירויות המתקרבות למהירות האור, יוצר "סופה" במרחב-זמן, שגליה חזקים מספיק כדי שניתן יהיה למדוד אותם על פני כדור הארץ, גם ממרחק של מיליארדי שנות אור.

את השפעתו של גל כבידה פשוט ניתן להמחיש באמצעות פעולתו על טבעת דמיונית של חלקיקים חופשיים. גל המתפשט דרך הטבעת יגרום למרחב עצמו להימתח ולהידחס לסירוגין, כך שהטבעת תתעוות באופן מחזורי ותשנה את צורתה מאליפסה אופקית לאנכית, וחוזר חלילה. מכיוון שמשוואות איינשטיין הן לא-ליניאריות (כלומר, הכבידה משפיעה על עצמה), גלי כבידה חזקים אינם מצייתים לעקרון הסופרפוזיציה – לא ניתן פשוט לחבר את השפעותיהם זה לזה, מה שמקשה על תיאורם. עם זאת, עבור הגלים החלשים להפליא המגיעים לכדור הארץ, קירוב ליניארי מספק דיוק מספק, וניתן לנתח אותם באמצעות כלים סטנדרטיים כמו התמרת פורייה (פירוק הגל למרכיביו התדירותיים).

קיימים פתרונות מדויקים מסוימים המתארים גלי כבידה ללא כל קירוב, למשל "רכבת גלים" (פתרון מתמטי המתאר גל מושלם ואינסופי הנע בחלל ריק) או יקומי גאודי (מודלים תאורטיים של יקום מתפשט המלא אך ורק בגלי כבידה). אך עבור גלי כבידה הנוצרים במצבים אסטרופיזיקליים מציאותיים, כמו מיזוג של שני חורים שחורים, שיטות נומריות (סימולציות ממוחשבות) הן הדרך היחידה לבנות מודלים מתאימים.

אפקטים מסלוליים ויחסות הכיוון

תורת היחסות הכללית נבדלת מהמכניקה הקלאסית במספר תחזיות הנוגעות לגופים במסלול הקפה. היא חוזה סיבוב כולל של מסלולי כוכבי הלכת (נקיפה), דעיכה של המסלול הנגרמת מפליטת גלי כבידה, ואפקטים הקשורים ליחסות הכיוון. הכוונה ב"יחסות הכיוון" היא לתופעות שבהן המרחב-זמן העקום אינו רק מכתיב את מסלול התנועה של גוף, אלא גם משנה את האוריינטציה (הכיוון) שלו במרחב (למשל, את ציר הסיבוב של גירוסקופ).

נקיפת האפסידים

מסלול ניוטוני (אדום) לעומת מסלול איינשטייני (כחול) של כוכב לכת בודד המקיף כוכב.

בתורת היחסות הכללית, האפסידים של כל מסלול – הנקודות במסלול שבהן הגוף המקיף נמצא במרחק הקרוב ביותר והרחוק ביותר ממרכז המסה – יעברו נקיפה. במקרה של מסלול סביב השמש, נקודות אלו מכונות פריהליון (הנקודה הקרובה ביותר) ואפהליון (הנקודה הרחוקה ביותר). משמעות הנקיפה היא שהמסלול אינו אליפסה קבועה, אלא דומה לאליפסה המסתובבת באיטיות סביב המוקד שלה, מה שיוצר צורה דמוית ורד. בעוד שנקיפה היא תופעה כללית שיכולה להיגרם גם מהשפעת כוכבי לכת אחרים, הנקיפה היחסותית היא תוספת ייחודית שנובעת מתורת היחסות הכללית. העובדה שהתאוריה הצליחה להסביר במדויק את הנקיפה החריגה במסלולו של כוכב חמה, שהתגלתה על ידי האסטרונום אורבן לה-ורייה עוד ב-1859, היוותה עבור איינשטיין הוכחה מכרעת לנכונות משוואות השדה שלו.

את האפקט ניתן לחשב באמצעות מטריקת שוורצשילד (הפתרון המדויק של משוואות איינשטיין למרחב-זמן סביב מסה כדורית) או באמצעות הפורמליזם הפוסט-ניוטוני (שיטת קירוב המחשבת את התיקונים היחסותיים לחוקי ניוטון). הנקיפה היחסותית נובעת משתי סיבות עיקריות: השפעת הכבידה על הגאומטריה של המרחב עצמו, ותופעה המכונה "אי-ליניאריות" של משוואות איינשטיין. משמעותה של האי-ליניאריות היא שהאנרגיה של שדה הכבידה עצמו תורמת לכבידה הכוללת (מעין "כבידה שיוצרת עוד כבידה"), אפקט שאינו קיים בתורת ניוטון.

נקיפה יחסותית נצפתה בכל כוכבי הלכת שבהם ניתן לבצע מדידות מדויקות (כוכב חמה, נוגה וכדור הארץ), וכן במערכות של פולסרים כפולים, שם האפקט גדול בחמישה סדרי גודל.

בקירוב, נקיפת הפריהליון $\sigma$ (ברדיאנים להקפה) נתונה על ידי:

$\sigma =\frac{24{\pi }^3{L}^2}{T^2{c}^2(1-e^2)}$

כאשר:

• $L$ הוא ציר ראשי למחצה
• $T$ הוא זמן הקפה
• $c$ היא מהירות האור
• $e$ היא אקסצנטריות מסלולית

דעיכת מסלול עקב פליטת גלי כבידה

דעיכת המסלול של המערכת PSR J0737−3039: סטיית זמן שנמדדה על פני 16 שנים (2021).

על פי תורת היחסות הכללית, מערכת כוכב כפול פולטת אנרגיה בצורת גלי כבידה (הידועים גם כקרינה כבידתית), ובכך מאבדת אנרגיה. אפקט זה מתרחש עבור כל מסה מואצת, אך הוא זעיר לחלוטין ובלתי ניתן למדידה עבור מערכות רגילות כמו מערכת השמש. בשל אובדן האנרגיה, המרחק בין שני הגופים המקיפים קטן, וזמן ההקפה שלהם מתקצר.

המצב שונה עבור פולסר כפול קרוב, מערכת של שני כוכבי נייטרונים מקיפים, שאחד מהם הוא פולסר. הפולסר פולט סדרות קבועות של גלי רדיו, המשמשות כ"שעון" מדויק להפליא המאפשר מדידה מדויקת של זמן ההקפה. מכיוון שכוכבי נייטרונים הם דחוסים במיוחד ונמצאים במסלול קרוב ומהיר, כמויות משמעותיות של אנרגיה נפלטות מהם בצורת קרינה כבידתית.

התצפית הראשונה של ירידה בזמן ההקפה עקב פליטת גלי כבידה נערכה על ידי ראסל הולס וג'וזף טיילור, באמצעות הפולסר הבינארי PSR B1913+16 שהם גילו ב-1974. היה זה הזיהוי הראשון של גלי כבידה, אם כי באופן עקיף, שעליו הם זכו בפרס נובל לפיזיקה לשנת 1993. מאז התגלו מספר פולסרים כפולים נוספים, ובמיוחד הפולסר הכפול PSR J0737-3039, שבו שני הכוכבים הם פולסרים. נכון ל-2021, לאחר 16 שנות תצפית, גם מערכת זו נמצאה עקבית עם תורת היחסות הכללית.

אפקטים הקשורים ליחסות הכיוון

תורת היחסות הכללית חוזה כי המרחב-זמן העקום אינו רק מכתיב את מסלול התנועה של גוף, אלא גם משנה את האוריינטציה (הכיוון) שלו במרחב. הבנת תופעות אלו דורשת היכרות עם עקרון הפעולה של הגירוסקופ. גירוסקופ הוא גלגל המסתובב במהירות גבוהה סביב צירו. על פי עיקרון שימור התנע הזוויתי, ציר הסיבוב שלו מתנגד לכל ניסיון לשנות את כיוונו, ולכן הוא מהווה את הכלי הטוב ביותר לייצוג "כיוון קבוע" בחלל.

נקיפה גאודטית (או האפקט הגאודטי) - היא תופעה שבה ציר הסיבוב של גירוסקופ הנמצא בנפילה חופשית במרחב-זמן עקום, משנה את כיוונו ביחס לכוכבים מרוחקים. השינוי אינו נגרם מהפעלת כוח חיצוני, אלא נובע מעצם התנועה בתוך גאומטריה עקומה. ניתן להמחיש זאת באמצעות תהליך של העתקה מקבילה על פני משטח כדורי: אם מסיעים וקטור (המייצג את ציר הגירוסקופ) לאורך מסלול סגור, הוא יחזור לנקודת ההתחלה כשהוא מוסט בזווית מסוימת ביחס לכיוונו המקורי. עבור מערכת הארץ-ירח, אפקט זה נמדד בעזרת מדידת מרחק באמצעות לייזר ירחי.

גרירת מרחב-זמן (Frame-dragging) היא אפקט נוסף. בעוד שנוכחות מסה גורמת לעיקום המרחב-זמן, מסה מסתובבת לא רק מעקמת אותו, אלא ממש "גוררת" ו"מסובבת" אותו יחד איתה. כתוצאה מכך, ציר הסיבוב של גירוסקופ הנע בקרבת גוף מסיבי מסתובב, יוסט באיטיות בכיוון הסיבוב של הגוף. אפקט זה קיצוני ביותר סביב חורים שחורים מסתובבים, שם נוצר אזור המכונה ארגוספירה, שבו גרירת המרחב-זמן כה חזקה עד ששום עצם אינו יכול להישאר במנוחה.

שני האפקטים הללו, שהם זעירים ביותר בסביבת כדור הארץ, נבחנו על ידי לוויין הניסוי Gravity Probe B, שנשא את הגירוסקופים המדויקים ביותר שנבנו אי פעם. הלוויין הקיף את כדור הארץ במסלול קוטבי, מה שאיפשר למדענים להבחין בין שני האפקטים: הנקיפה הגאודטית נמדדה על ידי סטיית ציר הגירוסקופים במישור ההקפה, וגרירת המרחב-זמן נמדדה על ידי סטייה זעירה נוספת, בניצב למישור ההקפה. בשנת 2011, הודיע צוות המשימה כי תוצאות המדידה תואמות את תחזיותיה של תורת היחסות הכללית בדיוק גבוה.

יישומים אסטרופיזיקליים

עידוש כבידתי

ערך מורחב – עידוש כבידתי

הסטת מסלולו של האור על ידי כבידה אחראית לסוג חדש של תופעות אסטרונומיות. אם גוף מסיבי ממוקם בין האסטרונום לעצם מרוחק, הגוף המסיבי מתפקד כמעין "עדשה" קוסמית המעקמת את אורו של העצם הרחוק. אפקטים אלה ידועים בשם עידוש כבידתי.

צלב איינשטיין: ארבע דמויות של אותו עצם אסטרונומי, הנוצרות על ידי עידוש כבידתי

היווצרותן של דמויות מרובות נובעת מכך שהעדשה הכבידתית מכופפת קרני אור, שיצאו מהעצם המרוחק בכיוונים שונים והיו אמורות לחלוף על פני כדור הארץ, ומסיטה אותן כך שיגיעו אל הצופה. ניתן לדמות זאת להתבוננות בנר דרך תחתית של כוס יין: הזכוכית העקומה מאפשרת לקרניים שיצאו מהנר בכיוונים שונים להגיע אל הצופה ממסלולים מרובים. כל מסלול אור כזה יוצר דמות נפרדת, ולכן נצפות מספר דמויות מעוותות של אותו העצם. בהתאם למסה ולמיקום היחסי של הגופים, ניתן לצפות בשתיים או יותר דמויות, בטבעת אור בהירה המכונה טבעת איינשטיין, או בטבעות חלקיות המכונות קשתות.

הדוגמה הראשונה לתופעה זו, הקוואזר הכפול (Q0957+561), התגלתה ב-1979 והיוותה אישוש חשוב לתאוריה. בתצפית ראשונית, נראו שני קוואזרים קרובים מאוד זה לזה. אולם, ניתוח הספקטרום של האור משניהם הראה שהם זהים לחלוטין – כלומר, לא מדובר בשני עצמים שונים, אלא בשתי דמויות של אותו קוואזר בודד, שנוצרו על ידי גלקסיה מסיבית הממוקמת בינו לבין כדור הארץ ומתפקדת כעדשה כבידתית. מאז נצפו מאות עדשות כבידה נוספות.

במקרים אחרים, המכונים מיקרו-עידוש כבידתי, הדמויות המרובות קרובות מכדי שניתן יהיה להבחין ביניהן באמצעות טלסקופים, והן נראות כנקודת אור אחת. עם זאת, האפקט עדיין ניתן למדידה. הסיבה לכך היא שהעדשה הכבידתית לא רק מפצלת את האור, אלא גם מרכזת וממקדת אותו, בדומה לאופן שבו זכוכית מגדלת מרכזת את אור השמש. כתוצאה מכך, כמות האור הכוללת (השטף) המגיעה מהעצם המרוחק גדלה. כאשר העדשה (למשל, כוכב) חולפת על פני העצם הרחוק (כוכב אחר), האירוע נצפה כהתבהרות זמנית ופתאומית של העצם הרחוק, למרות שהוא נראה כנקודה בודדת.

תופעת העידוש הכבידתי הפכה לכלי מרכזי באסטרונומיה תצפיתית. היא משמשת לאיתור ומיפוי של חומר אפל; מכיוון שחומר אפל אינו פולט אור, לא ניתן לראותו ישירות, אך הוא עדיין מעקם את המרחב-זמן. על ידי מדידת העיוותים בדמויות של גלקסיות רחוקות, אסטרונומים יכולים למפות את פיזור החומר האפל הבלתי נראה. בנוסף, התופעה משמשת כ"טלסקופ טבעי" המגביר את אורן של גלקסיות רחוקות מאוד, ומאפשרת לקבל אומדן בלתי תלוי של קבוע האבל. ניתוחים סטטיסטיים של נתוני עידוש מספקים תובנות חשובות על האופן שבו גלקסיות מתפתחות ומשנות את מבנן לאורך זמן.

אסטרונומיית גלי כבידה

הדמיה אמנותית של גלאי גלי הכבידה החללי LISA

כפי שצוין קודם, תצפיות על פולסרים כפולים סיפקו עדות עקיפה חזקה לקיומם של גלי כבידה. זיהוים הישיר של גלים אלה היווה מטרה מרכזית של המחקר ביחסות כללית במשך עשרות שנים.

לשם כך, פותחו מספר סוגים של גלאי גלי כבידה:

• גלאים קרקעיים: גלאים אלו, המכונים אינטרפרומטרים, משתמשים בקרני לייזר הנעות במנהרות ארוכות כדי למדוד שינויים זעירים ביותר במרחק, הנגרמים ממעבר של גל כבידה. דוגמאות בולטות הן GEO 600, LIGO (שני גלאים), TAMA 300 ו-Virgo.
• מערכי תזמון פולסרים: בשיטה זו, אסטרונומים עוקבים אחר אותות רדיו הנפלטים מפולסרים מהירים במיוחד, שזמן הסיבוב שלהם נמדד באלפיות השנייה (מילי-שניות). כאמור פולסרים אלה מתפקדים כשעונים קוסמיים מדויקים להפליא. גלי כבידה בעלי אורך גל ארוך מאוד גורמים לשינויים זעירים, מתואמים בזמני ההגעה של האותות מהם, ואותם ניתן למדוד.
• גלאים בחלל: גלאי חללי אירופי, eLISA, נמצא בפיתוח, לאחר הצלחת משימת המבוא שלו (LISA Pathfinder).

תצפיות בגלי כבידה צפויות להשלים את התצפיות בספקטרום האלקטרומגנטי (כלומר, אור, גלי רדיו וכו'), ובכך לפתוח "חלון" חדש לחלוטין לצפייה ביקום. הן צפויות לספק מידע על חורים שחורים וגופים דחוסים אחרים, על סוגים מסוימים של התפוצצויות סופרנובה, ועל תהליכים ביקום המוקדם, כולל חותמם של עצמים היפותטיים כמו מיתרים קוסמיים (פגמים טופולוגיים חד-ממדיים היפותטיים במארג המרחב-זמן, שעל פי תאוריות מסוימות נוצרו בשברירי השנייה הראשונים של היקום).

בפברואר 2016, הודיע צוות Advanced LIGO כי הצליח לזהות לראשונה גלי כבידה שמקורם במיזוג של שני חורים שחורים.

חורים שחורים ועצמים דחוסים אחרים

ערך מורחב – חור שחור

תורת היחסות הכללית חוזה כי כאשר היחס בין מסת גוף לרדיוס שלו הופך לגדול מספיק, הכבידה גוברת על כל הכוחות האחרים וגורמת לקריסה מוחלטת ובלתי ניתנת לעצירה. התוצאה היא חור שחור – אזור שהמרחב-זמן בו מעוות באופן כה קיצוני עד ששום דבר, אפילו לא אור, אינו יכול להימלט ממנו. העיקום כה חזק עד שכל המסלולים האפשריים במרחב-זמן, כולל מסלולו של האור, מובילים פנימה בלבד.

הדמיה המבוססת על משוואות היחסות הכללית: כוכב הקורס ויוצר חור שחור, תוך כדי פליטת גלי כבידה

על פי המודלים המקובלים של התפתחות כוכבים, לאחר שכוכב מסיבי מסיים את חייו, ליבתו קורסת תחת כוח הכבידה העצום שלה. אם מסת הליבה אינה גדולה מספיק, נוצר לחץ קוונטי אדיר בין הנייטרונים, המכונה לחץ ניוון נייטרונים, שעוצר את הקריסה ויוצר כוכב נייטרונים. אולם, אם מסת הליבה גדולה מספיק (מעל כ-3 מסות שמש), תורת היחסות הכללית חוזה שלחץ הניוון לא יצליח לעמוד בפני הכבידה, והקריסה תימשך עד ליצירת חור שחור. כך נוצרים חורים שחורים כוכביים. בנוסף, במרכזן של רוב הגלקסיות נמצא חור שחור על-מסיבי אחד, שמסתו נעה בין מיליונים למיליארדי מסות שמש.

מבחינה אסטרונומית, התכונה החשובה ביותר של עצמים דחוסים היא היותם מנגנון יעיל במיוחד להמרת אנרגיה פוטנציאלית כבידתית לקרינה. לכל חומר הנופל לתוך שדה כבידה יש אנרגיה "אצורה" הנובעת ממיקומו. כשהחומר נופל, אנרגיה זו משתחררת, בעיקר בצורת חום וקרינה אלקטרומגנטית. ספיחה (Accretion) היא התהליך שבו אבק וגז נלכדים בשדה הכבידה של עצם דחוס ומסתחררים סביבו במהירות עצומה, ויוצרים מבנה שטוח ולוהט המכונה דיסקת ספיחה.

• גרעין גלקטי פעיל (AGN): כאשר התהליך מתרחש סביב חור שחור על-מסיבי במרכז גלקסיה, דיסקת הספיחה כה בוהקת עד שהיא מאפילה על אור כל כוכבי הגלקסיה גם יחד.
• מיקרוקוואזר: כאשר תהליך דומה מתרחש בסקאלה קטנה יותר, סביב חור שחור כוכבי.

חלק מהחומר בדיסקת הספיחה אינו נופל פנימה, אלא נזרק החוצה בשתי אלומות ממוקדות ועוצמתיות, הנעות במהירות הקרובה למהירות האור. אלו הם הסילונים היחסותיים. הם נקראים "יחסותיים" מכיוון שמהירותם כה גבוהה עד שיש לתאר את התנהגותם באמצעות תורת היחסות, והם נוצרים בתנאי הכבידה הקיצוניים שתוארו על ידה. תורת היחסות הכללית ממלאת תפקיד מרכזי במידול כל התופעות הללו, ותצפיות מספקות ראיות חזקות לקיומם של חורים שחורים בעלי התכונות שהתאוריה חוזה.

חורים שחורים הם גם יעד מרכזי בחיפוש אחר גלי כבידה. מיזוג של זוג חורים שחורים פולט כמה מאותות גלי הכבידה החזקים ביותר. השלב האחרון לפני המיזוג ("ציוץ" או "chirp") יכול לשמש כ"נר תקני". באסטרונומיה, "נר תקני" הוא עצם שבהירותו המוחלטת (כמות האנרגיה שהוא פולט) ידועה לנו. על ידי השוואת הבהירות המוחלטת לבהירות הנצפית, ניתן לחשב במדויק את מרחקו. כך, מיזוגי חורים שחורים הופכים לכלי למדידת התפשטות היקום. בנוסף, גלי הכבידה הנפלטים מגוף קטן הצולל לתוך חור שחור על-מסיבי נושאים בתוכם מידע מדויק על הגאומטריה של החור השחור – כלומר, על האופן המדויק שבו הוא מעקם את המרחב-זמן סביבו, הנקבע על ידי המסה והתנע הזוויתי (הסיבוב) שלו. ניתוח גלים אלה מאפשר למדענים "למפות" את מבנה המרחב-זמן המעוות.

קוסמולוגיה

ערך מורחב – קוסמולוגיה

מודלים המודרניים של הקוסמולוגיה מבוססים על משוואות השדה של איינשטיין, הכוללות את הקבוע הקוסמולוגי ($\mathrm{\Lambda }$), שכן יש לו השפעה חשובה על הדינמיקה של היקום בסקאלה גדולה.

$R_{\mu \nu }-\frac{1}{2}R{g}_{\mu \nu }+\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }=\frac{8\pi G}{c^4}{T}_{\mu \nu }$

משוואה זו היא הגרסה המלאה של משוואות השדה של איינשטיין, והיא מתארת את הדינמיקה של היקום כולו. ניתן להבין את משמעותה על ידי פירוק מרכיביה: אגף שמאל מייצג את הגאומטריה של המרחב-זמן:

הרכיבים $R_{\mu \nu }$,$R$, ו-$g_{\mu \nu }$ מרכיבים יחד את טנזור איינשטיין, המתאר את עיקום המרחב-זמן הנגרם ישירות מנוכחות חומר ואנרגיה. הרכיב $\mathrm{\Lambda }{g}_{\mu \nu }$ מייצג את תרומתו של הקבוע הקוסמולוגי ($\mathrm{\Lambda }$). הוא מתאר את צפיפות האנרגיה של הריק (ואקום) עצמו, או ה"אנרגיה האפלה", ומהווה גורם הגורם למרחב-זמן להתפשט (אם הוא חיובי) או להתכווץ, גם בהיעדר חומר.

אגף ימין מייצג את החומר והאנרגיה ביקום:

• $T_{\mu \nu }$ הוא טנזור המאמץ-אנרגיה, המייצג את כל החומר והקרינה ביקום (כוכבים, גז, חומר אפל וכו').
• $\frac{8\pi G}{c^4}$ הוא קבוע פרופורציה המקשר בין יחידות של אנרגיה ליחידות של עקמומיות, ומבטיח שהתאוריה תתאים לתצפיות ולכבידה הניוטונית בגבולות המתאימים.

במילים אחרות, המשוואה קובעת כי הדינמיקה הכוללת של המרחב-זמן – העיקום שלו (הנגרם מחומר) וההתפשטות העצמית שלו (הנגרמת מהקבוע הקוסמולוגי) – נקבעת על ידי כמות החומר והאנרגיה שבו.

פתרונות משוואה זו מכונים פתרונות פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר, והם מתארים יקום בעל שתי תכונות מרכזיות בסקאלה גדולה:

• הומוגניות: היקום נראה זהה מכל מקום (כלומר, אין לו מרכז או "קצה").
• איזוטרופיות: היקום נראה זהה בכל כיוון שמסתכלים אליו.

"פרסת הסוס הכחולה": גלקסיה רחוקה שהוגדלה והתעוותה לכדי טבעת כמעט שלמה על ידי המשיכה הכבידתית החזקה של הגלקסיה האדומה המסיבית שבחזית.

ליקום, על פי מודלים אלה, אין קצה. האנלוגיה המקובלת היא פני השטח של בלון מתנפח: עבור יצור דו-ממדי החי על פני הבלון, פני השטח נראים זהים בכל מקום ובכל כיוון, והוא לעולם לא יגיע ל"קצה", למרות ששטח הפנים של הבלון סופי. מודלים אלה מאפשרים לפיזיקאים לתאר את התפתחות היקום.

לאחר שנקבעים מספר קטן של פרמטרים באמצעות תצפיות אסטרונומיות, ניתן להעמיד את המודלים למבחן. תחזיות המודל, שכולן זכו לאישושים מוצלחים, כוללות את השפע הראשוני של יסודות כימיים שנוצרו בנוקליאוסינתזה הקדמונית (היווצרות היסודות הקלים בראשית העולם), את המבנה רחב-ההיקף של היקום, ואת קיומו של "הד תרמי" מהיקום המוקדם הוא קרינת הרקע הקוסמית.

תצפיות אסטרונומיות על קצב התפשטות היקום מאפשרות להעריך את כמות החומר הכוללת ביקום, אם כי מהות רובו של חומר זה נותרה בגדר תעלומה. כ-90% מכלל החומר ביקום נראה כחומר אפל, שלו יש מסה (ולכן השפעה כבידתית), אך הוא אינו מקיים אינטראקציה אלקטרומגנטית, ולכן לא ניתן לצפות בו ישירות. אין תיאור מקובל לסוג חדש זה של חומר במסגרת פיזיקת החלקיקים המוכרת. בנוסף, עדויות תצפיתיות מראות שהתפתחות היקום מושפעת באופן משמעותי מקבוע קוסמולוגי הגורם להאצת התפשטות היקום. גורם זה מכונה אנרגיה אפלה, וטבעו נותר לא ברור.

שלב האינפלציה הקוסמית, שלב היפותטי של התפשטות מואצת ביותר בשברירי השנייה הראשונים של היקום, הוצע בשנות ה-80 כדי להסביר מספר תצפיות תמוהות, ובראשן ההומוגניות הכמעט מושלמת של קרינת הרקע הקוסמית. האינפלציה מסבירה זאת בטענה שהיקום הנצפה כולו התפתח מאזור זעיר שהיה מצוי בשיווי משקל תרמי לפני ההתפשטות המהירה. התפשטות אדירה זו "מתחה" את האזור האחיד הזה לקנה המידה העצום שאנו רואים כיום. מדידות אחרונות של קרינת הרקע סיפקו את העדות הראשונה לתרחיש זה. עם זאת, קיימים תרחישי אינפלציה רבים ושונים, שלא ניתן להכריע ביניהם באמצעות התצפיות הקיימות.

שאלה גדולה עוד יותר היא הפיזיקה של היקום המוקדם ביותר, לפני שלב האינפלציה וקרוב לנקודה שבה המודלים הקלאסיים חוזים את הסינגולריות של המפץ הגדול. תשובה מוסמכת לכך תדרוש תאוריה שלמה של כבידה קוונטית, תאוריה היפותטית המנסה לאחד את תורת היחסות הכללית (המתארת את הכבידה בסקאלות גדולות) עם מכניקת הקוונטים (המתארת את הפיזיקה בסקאלות קטנות).

פתרונות אקזוטיים: מסע בזמן והנעת עיוות

לצד התחזיות שאוששו בניסויים, משוואות השדה של איינשטיין מאפשרות גם קיומם של פתרונות "אקזוטיים", המאתגרים את תפיסותינו לגבי סיבתיות ותנועה. הלוגיקן והמתמטיקאי קורט גדל הראה שקיים פתרון למשוואות המתאר יקום שלם המסתובב סביב עצמו. התנאי הקיצוני בפתרון זה הוא שהיקום כולו חייב להסתובב, הנחה הסותרת את התצפיות האסטרונומיות. ביקום כזה, המרחב-זמן מעוות באופן כה עמוק עד שנוצרות בו עקומות סגורות דמויות-זמן (CTCs) – מסלולים המאפשרים חזרה לנקודת ההתחלה לא רק במרחב, אלא גם בזמן. מאז, נמצאו פתרונות תאורטיים נוספים המאפשרים מסע בזמן, כמו גליל טיפלר (גליל אינסופי ודחוס המסתובב במהירות הקרובה למהירות האור) וחור תולעת עביר (מעין "מנהרה" או "קיצור דרך" היפותטי במארג המרחב-זמן). הפיזיקאי סטיבן הוקינג הציע את השערת הגנת הכרונולוגיה, הטוענת שחוקי הפיזיקה פועלים באופן שמונע היווצרות של לולאות זמן כאלה.

רעיון אקזוטי נוסף הוא הנעת עיוות (Warp Drive), שהמודל המפורסם ביותר שלו הוצע על ידי הפיזיקאי מיגל אלקוביירה. הרעיון אינו שהחללית עצמה נעה מהר יותר מהאור, אלא שהמרחב-זמן סביבה מתעוות: המרחב "מתכווץ" לפניה ו"מתרחב" מאחוריה. כך, החללית גולשת על "גל" של מרחב-זמן ויכולה להגיע ליעדה במהירות הגדולה לכאורה ממהירות האור, מבלי שבתוך ה"בועה" שלה היא תעבור את המהירות המותרת. אולם, כדי ליצור עיוות כזה, משוואות איינשטיין דורשות קיומה של צפיפות אנרגיה שלילית. חומר היפותטי בעל תכונה זו, שקיומו אינו ודאי ואף ייתכן שהוא בלתי אפשרי על פי חוקי הפיזיקה המוכרים, מכונה "חומר אקזוטי". בנוסף, מודלים אלה סובלים בדרך כלל מאי-יציבות סמי-קלאסית, כלומר, השפעות קוונטיות קטנות צפויות לגרום להם לקרוס.

מושגים מתקדמים

סימטריות אסימפטוטיות

בפיזיקה, סימטריה היא תכונה של מערכת להישאר ללא שינוי תחת סוג מסוים של טרנספורמציה (שינוי נקודת מבט). אוסף כל הטרנספורמציות הללו נקרא חבורת הסימטריה של התאוריה. חבורת הסימטריה של תורת היחסות הפרטית היא חבורת פואנקרה, שהיא סוף-ממדית (finite-dimensional), כלומר מורכבת ממספר סופי של טרנספורמציות יסוד. במתמטיקה של תורת החבורות, "ממד" מציין דרגת חופש או פרמטר רציף שניתן לשנות, וכל טרנספורמציה (כמו סיבוב סביב ציר) נספרת כממד אחד. עשרת הממדים של חבורת פואנקרה הם הזזות בזמן ובמרחב, סיבובים, ובוסטים לורנציאניים (הכללים המתמטיים למעבר בין מערכות ייחוס הנעות במהירויות קבועות שונות, תוך שמירה על קביעות מהירות האור).

שאלה טבעית היא, מהי חבורת הסימטריה של תורת היחסות הכללית? מכיוון שהמרחב-זמן עקום באופן כללי, התשובה מורכבת. פיזיקאים בראשות הרמן בונדי, מ.ג. ון דר בורג, א.וו. מצנר וריינר זקס בחנו את הסימטריות של המרחב-זמן "באופן אסימפטוטי", כלומר במרחק אינסופי מכל מקורות הכבידה, שם המרחב-זמן אמור להיות שטוח. התוצאה הייתה שבמקום למצוא את חבורת פואנקרה, הם גילו חבורה אינסוף-ממדית, המכונה חבורת BMS. היותה "אינסוף-ממדית" פירושה שהיא מכילה אינסוף טרנספורמציות סימטריה נפרדות. בנוסף לעשר הטרנספורמציות של חבורת פואנקרה, החוקרים גילו קבוצה אינסופית של טרנספורמציות חדשות, המכונות "תרגום-על" (supertranslations). המשמעות הפיזית של סימטריות אלו היא תופעה המכונה "אפקט הזיכרון הכבידתי". כלומר כאשר גל כבידה חולף דרך מערכת של גלאים, אין הוא מרעיד אותם באופן זמני בלבד, אלא משאיר אחריו שינוי קבוע במיקומם היחסי. "זיכרון" זה במרחב-זמן הוא הביטוי הפיזי של סימטריות התרגום-על.

המסקנה הנובעת מכך היא עמוקה: תורת היחסות הכללית אינה מצטמצמת לתורת היחסות הפרטית, גם בגבול של שדות חלשים במרחקים גדולים. בשנים האחרונות התגלה קשר עמוק בין תופעה זו לפיזיקת החלקיקים. אמנם הכבידה היא עיקום של המרחב-זמן, אך לפי תורת השדות הקוונטית (QFT) נדרש קיומו של חלקיק בשם "גרביטון". תורה זו מתארת את כל כוחות הטבע כאינטראקציות המתווכות על ידי חלקיקים. כדי שתהיה תאוריה קוונטית של כבידה, יש להניח שגם היא מתווכת על ידי חלקיק כזה. התגלית המפתיעה היא שהחוקים המתמטיים המתארים את פליטת ה"גרביטונים הרכים" (בעלי אנרגיה נמוכה) במהלך התנגשויות, ומכונים "משפט הגרביטון הרך", זהים לחלוטין לחוקי הסימטריה של חבורת BMS. משפט הגרביטון הרך הוא סוג של חוק שימור קוונטי מורכב, הקושר בין מצב המערכת לפני התנגשות למצב שאחריה. הגילוי שחבורת BMS שקולה למשפט זה מרמז שסימטריות המרחב-זמן באינסוף הן למעשה הביטוי המאקרוסקופי של חוקי שימור קוונטיים יסודיים.

מבנה סיבתי וגאומטריה גלובלית

דיאגרמת פנרוז-קרטר של יקום מינקובסקי אינסופי

אחד מעקרונות היסוד של תורת היחסות הוא שדבר אינו יכול לנוע מהר יותר מהאור. עיקרון זה מטיל מגבלות נוקשות על קשרי סיבה ותוצאה ביקום, ויוצר מושג שמכונה המבנה הסיבתי של המרחב-זמן. המשמעות היא שמאורע מסוים יכול להשפיע רק על אזורים שאליהם יכול האור להגיע. לכן, מיפוי כל מסלולי האור האפשריים (גאודזות-אור) חושף את "שלד" הסיבתיות של היקום.

כדי לחקור את המבנה הסיבתי של יקום שלם, הכולל מרחבים אינסופיים וזמני התפתחות אינסופיים, פותח כלי מתמטי מתוחכם המכונה דיאגרמת פנרוז-קרטר. דיאגרמה זו מאפשרת "לכווץ" את האינסוף הזה לתוך מפה סופית ודו-ממדית. הדבר נעשה באמצעות טרנספורמציה מתמטית המעוותת את המרחקים, אך משמרת בקפידה את מבנה הסיבתיות, כלומר מסלולי האור עדיין נעים בזווית של 45 מעלות.

מתוך הבנת חשיבותו של המבנה הסיבתי, הפיזיקאי והמתמטיקאי רוג'ר פנרוז ואחרים פיתחו את תחום הגאומטריה הגלובלית. בניגוד לחיפוש אחר פתרון ספציפי למשוואות איינשטיין (כמו תיאור של חור שחור בודד), גישה זו שואפת להוכיח משפטים כלליים החלים על מגוון רחב של יקומים אפשריים, כל עוד הם מקיימים הנחות פיזיקליות סבירות.

לשם כך, משתמשים בכלים מתמטיים כלליים. לדוגמה, משוואת רייצ'אודהורי מתארת כיצד צביר של גאודזות (קבוצה של מסלולים סמוכים זה לזה) מתנהג. היא מראה באופן מתמטי שכאשר יש חומר בעל אנרגיה חיובית (כמו כוכב), הכבידה תמיד תגרום למסלולים להתכנס – כלומר, היא תמיד תהיה כוח מושך. בנוסף, משתמשים ב"תנאי אנרגיה" – אלו הן הנחות יסוד פיזיקליות סבירות, למשל, שהצפיפות של אנרגיה היא תמיד חיובית.

הדוגמה המפורסמת ביותר להצלחתה של גישה זו היא משפטי הסינגולריות שהוכיחו פנרוז וסטיבן הוקינג. הם השתמשו בכלים אלה כדי להראות שבהינתן תנאי אנרגיה סבירים, כל כוכב מסיבי שקורס חייב ליצור סינגולריות (כמו במרכז חור שחור), ושהיקום שלנו עצמו היה חייב להתחיל מסינגולריות. זוהי דוגמה לאופן שבו הגאומטריה הגלובלית מאפשרת להסיק מסקנות כלליות ורבות משמעות על מבנה היקום.

אופקים

באמצעות גאומטריה גלובלית, ניתן להראות כי סוגים מסוימים של מרחב-זמן מכילים גבולות המכונים אופקים, המפרידים אזור אחד משאר המרחב-זמן. הדוגמאות המוכרות ביותר הן חורים שחורים: אם מסה נדחסת לאזור קומפקטי מספיק (כפי שמתואר בהשערת החישוק, סדר הגודל הרלוונטי הוא רדיוס שוורצשילד), שום אור מתוך האזור אינו יכול להימלט החוצה. ומכיוון ששום עצם אינו יכול לנוע מהר יותר מאור, כל החומר בפנים כלוא גם הוא. מעבר מהאזור החיצוני לפנימי עדיין אפשרי, מה שמראה שהגבול, האופק של החור השחור, אינו מחסום פיזי.

הארגוספירה של חור שחור מסתובב, הממלאת תפקיד מפתח בהפקת אנרגיה מחור שחור כזה

מחקרים מוקדמים של חורים שחורים הסתמכו על פתרונות מדויקים של משוואות איינשטיין, בעיקר פתרון שוורצשילד, המתאר חור שחור נייח ובעל סימטריה כדורית מושלמת, ופתרון קר (Kerr solution), המתאר חור שחור מסתובב ובעל סימטריה צירית, ומציג תכונות מעניינות כמו הארגוספירה. מחקרים מאוחרים יותר חשפו תכונות כלליות יותר של חורים שחורים. עם הזמן, הם הופכים לעצמים פשוטים למדי, המאופיינים במספר מצומצם של פרמטרים: מטען חשמלי, מסה-אנרגיה, תנע קווי ותנע זוויתי. קביעה זו ידועה בשם משפט האין-שיער: "לחורים שחורים אין שיער", כלומר, אין להם סימני היכר ייחודיים. ללא תלות במורכבותו של הגוף הקורס ליצירת חור שחור, העצם הנוצר הוא פשוט מאוד.

באופן יוצא דופן אף יותר, קיימת מערכת חוקים כללית המכונה מכניקת חורים שחורים, המקבילה לחוקי התרמודינמיקה. לדוגמה, על פי החוק השני של מכניקת החורים השחורים, שטח הפנים של אופק האירועים של חור שחור לעולם לא יקטן עם הזמן, בדומה לאנטרופיה של מערכת תרמודינמית. חוק זה מגביל את האנרגיה שניתן להפיק מחור שחור מסתובב באמצעות תהליך פנרוז – ניסוי מחשבתי שבו ניתן "לזרוק" חומר לתוך הארגוספירה באופן שיאפשר לו לצאת עם יותר אנרגיה משהייתה לו, על חשבון אנרגיית הסיבוב של החור השחור.

ישנן ראיות חזקות לכך שחוקי מכניקת החורים השחורים הם, למעשה, תת-קבוצה של חוקי התרמודינמיקה, ושטח החור השחור פרופורציונלי לאנטרופיה שלו. רעיון זה מוביל לשינוי בחוק המקורי: מכיוון שהחוק השני של מכניקת החורים השחורים הוא חלק מהחוק השני של התרמודינמיקה, ייתכן ששטח החור השחור יקטן, בתנאי שתהליכים אחרים (כמו פליטת קרינה) יגרמו לכך שהאנטרופיה הכוללת ביקום תגדל.

כעצמים תרמודינמיים בעלי טמפרטורה, חורים שחורים אמורים לפלוט קרינה תרמית. חישובים סמי-קלאסיים מראים שאכן כך הדבר, וקרינה זו ידועה בשם קרינת הוקינג. הסבר אינטואיטיבי אך לא לחלוטין מדויק לתופעה מתאר זוגות של חלקיקים "וירטואליים" (חלקיק ואנטי-חלקיק) הנוצרים כל הזמן מהריק הקוונטי ליד אופק האירועים. לעיתים, אחד החלקיקים נופל לתוך החור השחור, בעוד שהשני נמלט לחלל. כדי לשמר את האנרגיה, החלקיק שנופל פנימה נושא אנרגיה שלילית, ובכך מקטין את מסת החור השחור. זהו תיאור פשטני. ההסבר המלא והמדויק מורכב הרבה יותר ונובע מחישובים של תורת השדות הקוונטיים במרחב-זמן עקום. קרינה זו מצייתת לחוק פלאנק, המתאר את ספקטרום הקרינה הנפלטת מגוף שחור בטמפרטורה נתונה, וכבידת פני השטח של החור השחור ממלאת את תפקיד הטמפרטורה.

סוגים נוספים של אופקים

קיימים סוגים נוספים של אופקים מלבד אלה של חורים שחורים:

• אופק חלקיקים: ביקום מתפשט בעל גיל סופי, זהו "קצה" היקום הנצפה, אור מאזורים מרוחקים מאוד טרם הספיק להגיע אלינו מראשית העולם. אופק החלקיקים הוא הגבול הדמיוני המפריד בין האזורים שיכולנו לראות לבין אלה שלא.
• אופק אירועים קוסמולוגי: ביקום שהתפשטותו מואצת, קיימים אזורים כה מרוחקים עד שהמרחב בינינו לבינם מתפשט מהר יותר ממהירות האור. כתוצאה מכך, אור שיצא מהם כעת לעולם לא יגיע אלינו. גבול זה, שממנו ואילך נהיה מנותקים סיבתית לנצח, נקרא אופק האירועים הקוסמולוגי.
• אופק רינדלר: במרחב מינקובסקי שטוח, צופה הנמצא בתאוצה קבועה יחוש כאילו הוא מוקף בקרינה תרמית חמה, ויראה "אופק" מאחוריו, שממנו נראה ששום מידע אינו יכול להגיע. תופעה זו, הקשורה לאפקט אונרו, מדגימה את הקשר העמוק בין תאוצה, כבידה ותרמודינמיקה.

סינגולריות

ערך מורחב – סינגולריות כבידתית

מאפיין כללי נוסף של תורת היחסות הכללית הוא הופעתם של גבולות למרחב-זמן, הידועים בשם סינגולריות. אין הכוונה לגבול במרחב, אלא לקצה של המציאות הפיזיקלית עצמה: אזורים שבהם מסלוליהם של אור וחלקיקים מגיעים לסוף פתאומי, והגאומטריה המוכרת לנו מאבדת את הגדרתה.

במקרים המעניינים יותר, אלו הן "סינגולריות של עקמומיות", שבהן גדלים גאומטריים המאפיינים את עקמומיות המרחב-זמן, כמו סקלר ריצ'י (מדד מתמטי לעקמומיות), מקבלים ערכים אינסופיים. דוגמאות מוכרות למרחבי-זמן עם סינגולריות עתידיות – שבהן מסלולי החלקיקים מסתיימים – הן פתרון שוורצשילד, המתאר סינגולריות נקודתית בתוך חור שחור סטטי, ופתרון קר, המתאר סינגולריות טבעתית (הנוצרת בשל התנע הזוויתי המונע קריסה לנקודה) בתוך חור שחור מסתובב. פתרונות קוסמולוגיים, כמו פתרונות פרידמן-למטר-רוברטסון-ווקר, מכילים סינגולריות בעבר שבהן מסלולים מתחילים – כלומר, הסינגולריות של המפץ הגדול, ולחלקם יש גם סינגולריות עתידיות (כמו בקריסה הגדולה – תרחיש היפותטי שבו היקום קורס בחזרה לנקודה אחת).

בהתחשב בכך שדוגמאות אלו הן סימטריות מאוד (למשל, מניחות כוכב כדורי מושלם), ולפיכך פשטניות, ניתן היה להסיק שהופעתן של סינגולריות היא תוצר לוואי של אידיאליזציה מתמטית. אולם, משפטי הסינגולריות המפורסמים, שהוכחו על ידי רוג'ר פנרוז וסטיבן הוקינג, הראו אחרת: סינגולריות הן מאפיין גנרי של תורת היחסות הכללית, והיווצרותן היא בלתי נמנעת בתנאים מציאותיים. עם זאת, המשפטים אינם מתארים את מבנה הסינגולריות עצמן, והמחקר הנוכחי בתחום, כמו השערת BKL, מוקדש לאפיון הגאומטריה הכאוטית והמורכבת בסביבתן.

השערת הצנזורה הקוסמית, שהוצעה על ידי פנרוז, קובעת כי כל הסינגולריות העתידיות הריאליסטיות מוסתרות בבטחה מאחורי אופק אירועים. השימוש במונח "צנזורה" הוא מטאפורי: הטבע, על פי השערה זו, "מצנזר" ומונע מאיתנו לצפות בסינגולריות עירומה (סינגולריות שאינה מוסתרת על ידי אופק), אשר חשיפתה הייתה מאפשרת לקריסה של חוקי הפיזיקה להשפיע על שאר היקום. אף שאין עדיין הוכחה רשמית להשערה, סימולציות נומריות מציעות ראיות התומכות בתקפותה.

משוואות התפתחות בזמן

כל פתרון של משוואות איינשטיין אינו מתאר מצב ברגע נתון, אלא מקיף את ההיסטוריה השלמה של יקום – מרחב-זמן ארבע-ממדי שלם, המגדיר את הגאומטריה ואת מצב החומר בכל נקודה ובכל רגע. בשל תכונת הקווריאנטיות הכללית שלה, התאוריה אינה מספיקה כשלעצמה כדי לקבוע את התפתחות הזמן של המטריקה. יש לשלב אותה עם תנאי קואורדינטות, מהלך המקביל לקיבוע כיול בתורות שדה אחרות.

כדי לנתח את משוואות איינשטיין כמשוואות דיפרנציאליות חלקיות המתארות התפתחות בזמן, פותחו שיטות המכונות "ניסוחי 3+1". בגישה זו, המרחב-זמן הארבע-ממדי "נפרס" לסדרה של "פרוסות" תלת-ממדיות של מרחב, המתפתחות לאורך ממד הזמן. הדוגמה המוכרת ביותר לגישה זו היא פורמליזם ADM. ניסוחים אלה מראים שמשוואות ההתפתחות בזמן של היחסות הכללית "מתנהגות היטב": הם מוכיחים שפתרונות תמיד קיימים ומוגדרים באופן ייחודי, מרגע שנקבעים תנאי התחלה מתאימים (כלומר, תיאור מלא של הגאומטריה והחומר ב"פרוסת זמן" אחת). ניסוחים כאלה של משוואות השדה של איינשטיין מהווים את הבסיס של תחום היחסות נומרית.

גדלים גלובליים וקוואזי-מקומיים

הרעיון של משוואות התפתחות בזמן קשור באופן הדוק להיבט נוסף בפיזיקה היחסותית. בתורתו של איינשטיין, מתברר כי בלתי אפשרי למצוא הגדרה כללית לתכונה פשוטה לכאורה כמו המסה (או האנרגיה) הכוללת של מערכת. הסיבה המרכזית היא שלשדה הכבידה עצמו יש אנרגיה, אך באופן יסודי, בלתי אפשרי "למקם" את האנרגיה הזו בנקודה ספציפית. זאת מכיוון שעל פי עקרון השקילות, תמיד ניתן לבחור מערכת ייחוס מקומית שבה הכבידה "נעלמת".

חרף זאת, קיימות אפשרויות להגדיר מסה כוללת של מערכת, בין אם באמצעות "צופה היפותטי במרחק אינסופי" (מסת ADM) ובין אם באמצעות סימטריות מתאימות (מסת קומאר). אם מתוך המסה הכוללת של המערכת מחסירים את האנרגיה הנישאת לאינסוף על ידי גלי כבידה, התוצאה היא מסת בונדי. בדומה לפיזיקה הקלאסית, ניתן להראות שהמסות הללו הן חיוביות, עובדה חשובה ליציבותו של המרחב-זמן. הגדרות גלובליות דומות קיימות גם עבור תנע ותנע זוויתי.

הגדרות המסה הגלובליות (כמו מסת ADM) הן שימושיות תאורטית, אך יש להן מגבלה: הן דורשות ידע על הגאומטריה של המרחב-זמן במרחק אינסופי מהמערכת. לכן, נעשו ניסיונות רבים להגדיר גדלים "קוואזי-מקומיים" (כלומר, מקומיים-לכאורה). המטרה היא למצוא דרך לחשב את המסה והאנרגיה של מערכת מבודדת (כמו כוכב או חור שחור) על ידי מדידות הנעשות אך ורק על פני "בועה" דמיונית הסוגרת על המערכת, מבלי להסתכל על מה שקורה באינסוף.

התקווה היא שבאמצעות הגדרה מעשית כזו, ניתן יהיה לנסח ולבדוק טענות כלליות על מערכות מבודדות. דוגמה מרכזית לכך היא ניסוח מדויק יותר של השערת החישוק, שהוצעה על ידי הפיזיקאי קיפ תורן. השערה זו קובעת כי כל מסה שתדחס לאזור קטן מספיק כך ש"חישוק" דמיוני בעל היקף קריטי (הקשור לרדיוס שוורצשילד של המסה) יוכל לעבור סביבה מכל כיוון, חייבת לקרוס ולהפוך לחור שחור. כדי לבחון השערה כזו, נדרשת הגדרה מדויקת של "מסה" בתוך אותו אזור סופי.

הקשר לתורת הקוונטים

אם תורת היחסות הכללית נחשבת לאחד משני עמודי התווך של הפיזיקה המודרנית, הרי שתורת הקוונטים, המהווה את הבסיס להבנת החומר, החל מחלקיקים יסודיים ועד לפיזיקה של מצב מוצק, היא העמוד השני. עם זאת, שילובן של שתי התאוריות נותר אחת הבעיות הפתוחות והחשובות ביותר בפיזיקה.

תורת השדות הקוונטיים במרחב-זמן עקום

תורות שדה קוונטיות רגילות, המהוות את הבסיס לפיזיקת החלקיקים המודרנית, מוגדרות במרחב מינקובסקי שטוח (כלומר, במרחב-זמן של תורת היחסות הפרטית, שבו הכבידה אינה קיימת). זהו קירוב מצוין לתיאור התנהגותם של חלקיקים מיקרוסקופיים בשדות כבידה חלשים, כמו אלה המצויים על פני כדור הארץ.

לשם תיאור מצבים שבהם הכבידה חזקה דיו כדי להשפיע על חומר קוונטי, אך עדיין אין היא חזקה מספיק כדי שיהיה צורך "לקוונטט" את הכבידה עצמה (כלומר, לתאר את הכבידה במונחים של חלקיקים – גרביטונים), פיתחו פיזיקאים את תורת השדות הקוונטיים במרחב-זמן עקום. תאוריות אלו מהוות מעין "תאוריית כלאיים": הן מסתמכות על תורת היחסות הכללית כדי לתאר מרחב-זמן עקום המשמש כ"רקע" קבוע, ומגדירות תורת שדות קוונטית מוכללת כדי לתאר את התנהגותו של חומר קוונטי בתוך אותו מרחב-זמן.

באמצעות פורמליזם זה, ניתן להראות שֶחורים שְחורים פולטים קרינה תרמית בעלת ספקטרום קרינת גוף שחור (כלומר, קרינה בעלת התפלגות אנרגיה אופיינית לגוף הנמצא בשיווי משקל תרמי), הידועה בשם קרינת הוקינג. קרינה זו מובילה לאפשרות שהם "מתאדים" ונעלמים לאורך זמן. כפי שצוין בקצרה לעיל, לקרינה זו תפקיד חשוב בתרמודינמיקה של חורים שחורים.

כבידה קוונטית

היטל של יריעת קאלאבי-יאו, אחת הדרכים לקומפקטיפיקציה של הממדים הנוספים שתורת המיתרים מניחה את קיומם

הדרישה לעקביות בין התיאור הקוונטי של החומר לתיאור הגאומטרי של המרחב-זמן, וכן הופעתן של סינגולריות, מצביעות על הצורך בתאוריה שלמה של כבידה קוונטית: תאוריה שבה הכבידה והגאומטריה של המרחב-זמן מתוארות בשפת הפיזיקה הקוונטית. תאוריה כזו נדרשת כדי לתאר את פנים החורים השחורים ואת היקום המוקדם מאוד. למרות מאמצים גדולים, תאוריה שלמה ועקבית כזו אינה ידועה כיום, אם כי קיימות מספר תאוריות מועמדות. ניסיונות להכליל את תורות השדה הקוונטיות הרגילות, המשמשות בפיזיקת החלקיקים, כך שיכללו את הכבידה, נתקלו בקשיים חמורים. בסקאלות אנרגיה נמוכות, גישה זו מצליחה במידה מסוימת ומניבה תורת שדה אפקטיבית של כבידה. אולם, בסקאלות אנרגיה גבוהות מאוד, התוצאות המתקבלות בחישובים הן אינסופיות וחסרות משמעות פיזיקלית. הבעיה נעוצה בכישלונה של טכניקה מתמטית בשם רנורמליזציה. בתורות קוונטיות אחרות, הרנורמליזציה מאפשרת "לספוג" את האינסוף שמופיע בחישובים לתוך הגדרתם של קבועים פיזיקליים, ובכך לקבל תחזיות סופיות. בכבידה, טכניקה זו נכשלת, ואינסוף חדש ובלתי ניתן לסילוק מופיע בכל שלב של החישוב. תופעה זו מכונה "אי-יכולת לעבור רנורמליזציה", והיא הופכת את המודל לחסר כוח ניבוי.

רשת ספין פשוטה מהסוג המשמש בכבידה קוונטית לולאתית

אחת הגישות להתגבר על מגבלות אלו היא תורת המיתרים, תאוריה קוונטית שבה אבני הבניין היסודיות אינן חלקיקים נקודתיים, אלא עצמים חד-ממדיים זעירים דמויי "מיתר". הרעיון לעבור מנקודות למיתרים נבע מההבנה שהאינטראקציות בין חלקיקים נקודתיים הן חדות ומקומיות מדי, מה שגורם להופעת האינסוף. המיתר, לעומת זאת, הוא עצם "מרוח" במרחב, והאינטראקציות שלו "מרוככות", מה שמוביל לביטול האינסוף בחישובים. התאוריה מבטיחה להיות תאוריה מאוחדת של כל החלקיקים והכוחות, כולל הכבידה. הרעיון הוא שמצבי תנודה שונים של אותו מיתר יסודי נראים לנו כחלקיקים שונים. באופן מכריע, אחד ממצבי התנודה של המיתר תמיד מתאים לתכונותיו של הגרביטון – החלקיק ההיפותטי הנושא את כוח הכבידה. המחיר הוא קיומם של מאפיינים יוצאי דופן, כמו שישה ממדי מרחב נוספים על שלושת הממדים המוכרים. במה שמכונה המהפכה הסופר-מיתרית השנייה, הועלתה השערה שתורת המיתרים ואיחוד של היחסות הכללית עם סימטריית-על (סימטריה היפותטית המקשרת בין חלקיקי חומר לחלקיקים נושאי כוח) המכונה סופר-כבידה, הם חלק ממודל היפותטי בעל 11 ממדים המכונה תורת M.

זיהוי גלי כבידה ממיזוג של זוג חורים שחורים, GW150914

גישה אחרת מתחילה מהליכי הקוונטיזציה קנונית. היא מנסה לקחת את תורת היחסות הכללית כפי שהיא, וליישם עליה ישירות את הכללים המתמטיים של תורת הקוונטים. התוצאה היא משוואת וילר-דה-ויט, אך היא התבררה כבלתי מוגדרת: המשוואה אינה מכילה את משתנה הזמן, ומתארת יקום "קפוא" וסטטי, מה שמקשה מאוד על פירושה הפיזיקלי. פריצת דרך הושגה עם הצגתם של משתני אשטקר, ניסוח מתמטי חדש של היחסות הכללית, שהביא למודל המכונה כבידה קוונטית לולאתית. במודל זה, המרחב עצמו אינו רציף, אלא בנוי מרשת של "לולאות" קוונטיות המכונה רשת ספין, המתפתחת בצעדים בדידים.

בהתאם לאילו מאפיינים של היחסות הכללית ותורת הקוונטים מקבלים כבלתי משתנים, קיימות גישות רבות נוספות. לדוגמה, טריאנגולציה דינמית סיבתית מנסה "לבנות" את המרחב-זמן מאבני בניין זעירות דמויות-פירמידה, תוך שמירה על עקרון הסיבתיות (סיבה קודמת לתוצאה). גישת הקבוצות הסיבתיות מניחה שהמרחב-זמן אינו רציף, אלא מורכב מ"אטומים" בדידים של מאורעות.

כל התאוריות המועמדות עדיין מתמודדות עם בעיות פורמליות ורעיוניות משמעותיות. הן ניצבות גם בפני הבעיה המשותפת שעדיין אין דרך להעמיד את תחזיותיהן למבחן ניסויי, אם כי קיימת תקווה שהדבר ישתנה עם קבלת נתונים עתידיים מתצפיות קוסמולוגיות וניסויים בפיזיקת חלקיקים.

מעמדה הנוכחי

תורת היחסות הכללית התבססה כמודל מוצלח ביותר של כבידה וקוסמולוגיה, ועד כה תאם באופן חד-משמעי את הנתונים התצפיתיים והניסיוניים. עם זאת, קיימות סיבות תאורטיות מוצקות להחשיב את התאוריה כבלתי שלמה. בעיית הכבידה הקוונטית ושאלת ממשותן של סינגולריות במרחב-זמן נותרו פתוחות. נתונים תצפיתיים המתפרשים כראיה לקיומם של אנרגיה אפלה וחומר אפל עשויים גם הם להצביע על הצורך לשקול תאוריות חלופיות או שינויים בתורת היחסות הכללית.

גם במצבה הנוכחי, תורת היחסות הכללית מספקת אפיקי מחקר רבים. חוקרי יחסות מתמטיים שואפים להבין את טבען של הסינגולריות ואת התכונות היסודיות של משוואות איינשטיין, בעוד חוקרי יחסות נומרית מריצים סימולציות ממוחשבות מורכבות יותר ויותר, המתארות למשל מיזוג של חורים שחורים. בפברואר 2016, הוכרז כי גלי כבידה זוהו באופן ישיר על ידי צוות Advanced LIGO ב-14 בספטמבר 2015. כמאה שנה לאחר הצגתה, תורת היחסות הכללית נותרה תחום מחקר פעיל ביותר.

ראו גם

פיזיקה - רקע:

• כבידה
• מכניקה
• תורת היחסות הפרטית

פיזיקה - יישומים:

• חור שחור
• קוסמולוגיה
• עידוש כבידתי

מתמטיקה:

• חשבון טנזורים
• גאומטריה דיפרנציאלית
• תורת כבידה קוונטית
• תורת המיתרים

לקריאה נוספת

• פרופ' יורם קירש, מיכל בן-יעקב, ‏יסודות הפיזיקה ב (כרך 7), האוניברסיטה הפתוחה, 1998 (הספר במיזם פא"ר)
• אלברט איינשטיין, על תורת היחסות הפרטית והכללית, תרגם מגרמנית יעקב גרינברג, הוצאת דביר, תרפ"ט 1928; תרגום יכין אונא, הוצאת מאגנס, 2015

• Albert Einstein, Relativity - the Special and General Relativity ,Crown, New York, 1961 (מהדורה להפצה בארצות הברית בלבד, תרגום מהמקור בגרמנית 1916)

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא תורת היחסות הכללית בוויקישיתוף

• מאה שנים לתורת היחסות, באתר "הארץ", 27 בנובמבר 2015
• יואב בן-דב, כבידה ועיקום - תורת היחסות הכללית, בספר מבוא לפיזיקה: היסטוריה, תאוריות ומושגים.
• רפי מור, להבין את תורת היחסות הכללית
• גלי וינשטיין, המירוץ של איינשטיין לתורת היחסות, באתר ynet, 17 במרץ 2010
• גלי וינשטיין, אודיסאת איינשטיין ליחסות הכללית, באתר סיינטיפיק אמריקן ישראל, 30 באוגוסט 2016.
• The fundamentals of space-time - סרטוני הסבר על יסודות החלל זמן: חלק 1, חלק 2 ו-חלק 3
• סיפורם של גלי הכבידה בתוכנית "החללית", סרטון באתר יוטיוב
• עודד כרמלי, אסטרונומים ערכו מבחן קיצוני במיוחד לתורת היחסות הכללית של איינשטיין, באתר סוכנות החלל הישראלית, יולי 2018
• חנוך גוטפרוינד, ‏עניין של אינטואיציה ושנים של חיפוש, אודיסאה 28, יולי 2015
• ברק קול, ‏עדיין פורצת דרך, אודיסאה 28, יולי 2015
• יוגב ישראלי, בקצה היקום: התגלתה "תקלה קוסמית" שמתנגשת עם תורת היחסות הכללית, באתר ynet, 9 במאי 2024
• תורת היחסות הכללית, באתר אנציקלופדיה בריטניקה (באנגלית)
• תורת היחסות הכללית (פיזיקה), דף שער בספרייה הלאומית

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תורת היחסות הכללית42132223Q11452