מרכז של איבר

בתורת החבורות המְרַכֵּז של איבר בחבורה הוא תת-חבורה שמורכבת מכל האיברים שמתחלפים איתו. המרכז בהכרח מכיל את האיבר, ואת מרכז החבורה.

באופן דומה, באלגברת לי, המרכז של איבר הוא תת-אלגברה המורכבת מכל האיברים שמתחלפים איתו.

מְרַכֵּז של איבר תמיד מכיל את המֶרְכָּז, וגם תמיד מכיל את תת-החבורה הנוצרת על ידי האיבר עצמו. המנה של החבורה במרכז של איבר מזוהה קנונית עם מחלקת הצמידות שלו.

דוגמאות

המרכז של איבר היחידה הוא כל החבורה, וגם המרכז של חבורה אבלית הוא כל החבורה.

מרכזים בחבורות סופיות

משוואת המחלקות מבטאת את גודל החבורה בעזרת הגודל של המֵרכַז והאינדקסים של המרכזים של איברים בכל מחלקות הצמידות.

כמות

אחת השאלות הנשאלות בחקר המרכזים של איברים בחבורה היא הערכת המספר שלהם עד כדי הצמדה. מספר זה חסום על ידי מספר מחלקות הצמידות, ולפעמים נמוך ממנו בהרבה. לדוגמה, מספר מחלקות הצמידות בחבורה ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n(\mathbb{ℂ})$, היא החבורה הליניארית הכללית מממד $n$, הוא אינסופי בעוד שמספר המרכזים עד כדי הצמדה הוא סופי (אקספוננציאלי ב-$n$).

הדבר נכון גם כאשר מחליפים את ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$ בחבורה רדוקטיבית G כלשהי ואת $\mathbb{ℂ}$ בשדה מקומי ממציין 0 (או גבוה מספיק; גדול מ־n במקרה של ${\mathrm{G}\mathrm{L}}_n$).

אם מחליפים את $\mathbb{ℂ}$ בשדה הסופי ${\mathbb{𝔽}}_q$ אז שני המספרים נהיים סופיים, אולם בעוד שמספר מחלקות הצמידות גדל לאינסוף עם q (באופן פולינומי), המספר השני נשאר חסום כש-q שואף לאינסוף (ו-G קבועה).

שאלת סופיות מספר המרכזים (עד כדי הצמדה) עבור חבורת הסילונים (מסדר k) של G(C) (כאשר G חבורה רדוקטיבית) עודנה פתוחה. לשאלה זו יש השלחות לגבי תורת ההצגות של סריגים.

ראו גם

• מנרמל

קישורים חיצוניים

• מרכז של איבר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מרכז של איבר42145455Q190629