מיפוי סטנדרטי

סביבון מוכה

המיפוי הסטנדרטי (באנגלית: Standard Map; מכונה גם מיפוי Chirikov-Taylor) הוא מיפוי כאוטי משמר-שטח מריבוע בעל צד באורך של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi\,} לעצמו. הוא מוגדר על ידי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{n+1} = p_n + K sin(\theta_n)\,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_{n+1} = \theta_n + p_{n+1}\,}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_n\,} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_n\,} מחושבים מודולו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi\,} . המיפוי הסטנדרטי מתאר בצורה מדויקת מערכת פיזיקלית של סביבון מוכה (Kicked Rotor). מערכת זאת מורכבת ממוט המוחזק בקצהו האחד על ידי ציר חסר חיכוך, ומקבל מכות בקצהו השני באופן מחזורי. המשתנים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_n\,} ו-$p_{n}\,$ מייצגים, בהתאמה, את המיקום הזוויתי של המוט ואת התנע הזוויתי לאחר המכה ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\,} ית. הקבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\,} מייצג את עוצמת המכות.

מיפוי זה הוא מן הנחקרים ביותר בכאוס הקלאסי, ומהווה את אחד המודלים החשובים והשימושיים ביותר. הוא משמש לבחינת שיטות לתיאור מעברים מתנועה מסודרת לתנועה כאוטית, ולתיאור התכונות הסטטיסטיות של מצבי כאוס גלובלי. המיפוי הסטנדרטי נותן תיאור מדויק או מקורב של מערכות פיזיקליות רבות, ולמרות פשטותו הוא שומר על התכונות המורכבות הטיפוסיות למערכות כאוטיות. בין השאר, המיפוי הסטנדרטי משמש לתיאור מערכות פיזיקליות בתחומי הפיזיקה של מאיצי חלקיקים, פיזיקה של פלסמה, ופיזיקת מצב מוצק.

מיפוי זה הוצע לראשונה על ידי בריאן טיילור (Bryan Taylor) ופותח באופן בלתי תלוי על ידי בוריס צ'יריקוב (Boris Chirikov) לצורך תיאור הדינמיקה של קווי שדה מגנטי.

קבלת המיפוי הסטנדרטי

בסעיף זה נראה כיצד מתקבל המיפוי הסטנדרטי מתוך ההמילטוניאן של מערכת סביבון מוכה. נניח, ללא הגבלת הכלליות, כי מומנט האינרציה של המוט הוא 1. קצה אחד של המוט מוחזק על ידי ציר חסר חיכוך, ואילו הצד השני מקבל מכות בעוצמה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Ksin(\theta_n)\,} בצורה מחזורית. ההמילטוניאן של המערכת נתון על ידי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H(p,\theta,t) = \frac{p^2}{2}+Kcos(\theta)\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta(t-n)}}

אם נפעיל את משוואות המילטון על ההמילטוניאן, נקבל את משוואות התנועה של המערכת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{p} = K sin(\theta)\sum_{n=-\infty}^{\infty}{\delta(t-n)}\,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \dot{\theta} = p\,}

בין מכה למכה המערכת נעה בצורה חופשית. נבצע אינטגרציה על מחזור אחד בין המכות ונקבל את משוואות המיפוי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_{n+1} = p_n + K sin(\theta_n)\,}

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_{n+1} = \theta_n + p_{n+1}\,}

המיפוי מספק למעשה צילום סטרובוסקופי של תנועת המוט במרחב הפאזה. המיקום (הזווית) מקבל ערכים בתחום 0 עד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi\,} והתנע אינו חסום, לכן מרחב הפאזה מוגבל לצילינדר. מרחב הפאזה מחזורי בציר התנע, עם מחזור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi\,} (תוספת של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi\,} לתנע לא משנה את המיקום), ולכן אפשר להציג את המיפוי, ללא הגבלת הכלליות, בתוך טורוס בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,2\pi)\times[0,2\pi)} .

מרחב הפאזה של המיפוי הסטנדרטי

עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=0\,} משוואות המיפוי מקבלות את הצורה:

$p_{n+1}=p_{n}\,$

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_{n+1} = \theta_n + p_{n+1} mod 2\pi\,}

הדינמיקה במקרה זה היא אינטגרבילית, שכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p\,} הוא קבוע תנועה. אם התנע של נקודת ההתחלה הוא מספר רציונלי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0=\frac{m}{n}2\pi\,} (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\,} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m\,} הם מספרים שלמים ללא גורם משותף), אז נקבל מסלול מחזורי בעל מחזור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\,} . כלומר, אחרי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\,} צעדים המסלול יחזור על עצמו מודולו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi\,} . אם התנע ההתחלתי, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_0\,} , הוא מספר אי-רציונלי, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_n\,} לא יחזור על עצמו לעולם והמעגל האינווריאנטי יתכסה באופן צפוף (ארגודי).

קובץ:StandardMapK0.jpg

מיפוי של 100 נקודות התחלה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=0}

צורת המסלולים במרחב הפאזה תלויה בגודל של פרמטר ההפרעה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\,} . עבור $K\,$ קטן התנועה ברוב מרחב הפאזה היא יציבה, וככל ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\,} גדל, מופיעים אזורים הולכים וגדלים של תנועה כאוטית. כל אחד מהמסלולים המחזוריים המסודרים ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=0\,} (שכאמור מתאים לנקודת התחלה בעלת תנע רציונלי) הופך לשרשרת של איים. שרשרת של איים מטיפוס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{m}{n}\,} היא "שרשרת" של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n\,} איים המתוחמים מלמעלה ולמטה על ידי שכבות כאוטיות. בכל איטרציה, אי מועתק לאי המופרד ממנו על ידי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m-1\,} פערים של המסלול המסודר המתאים. השכבה הכאוטית העליונה והתחתונה מוגבלות על ידי מסלולים קוואזימחזוריים עם מספר רוטציה אי-רציונלי הנקראים מסלולים רוטציוניים אינוואריאנטים (Rotational Invariant Circles – RIC). המסלולים האלה משתרעים מ-0 עד הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2\pi\,} באופן רציף ומונעים את התפשטות הכאוס, לכן הכאוס בשכבות הכאוטיות הוא כאוס לוקלי.

מיפוי של 100 נקודות התחלה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=0.6}

כאשר מגדילים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\,} עוד יותר ה-RICs נשברים ומוחלפים על ידי קווים מחוררים הנקראים קנטורים (כי יש להם מבנה טופולוגי דומה לזה של קבוצת קנטור). המסלולים באזורים הכאוטיים יכולים לחצות את הקנטורים דרך החורים שלהם. אחרי שכל ה-RICs נשברים, כל האזורים הכאוטיים מתחברים לאזור אחד גדול, ומתקבל כאוס גלובלי. ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\,} הקריטי, שבו מתרחש המעבר לכאוס גלובלי במיפוי הסטנדרטי, הוא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\sim0.9716\,} . עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\,} שגדול מהערך הזה, התנע והאנרגיה של מסלולים באזור הכאוטי יכולים לגדול עד אינסוף.

מיפוי של 100 נקודות התחלה עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K=1.2}

עבור ערכים גדולים של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K\,} , לא קיימים איים ברי הבחנה וכל מרחב הפאזה מתמלא בצורה ארגודית צפופה על ידי מסלול אחד.

מיפוי של 100 נקודות התחלה עבור הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle K=10}

מקורות

• Lichtenberg, A.J. and Lieberman, M.A., Regular and Chaotic Maps, Springer, Berlin, 1992
• B.V. Chirikov, A universal instability of many-dimensional oscillator systems, Phys. Rep, Vol. 52, p.263-379, 1979
• J.D Meiss, Symplectic maps, variational principles, and transport, Rev. Mod. Phys, Vol. 64, p.795-848, 1992