מבחן M של ויירשטראס

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה מתמטית, מבחן M של ויירשטראס הוא מבחן להתכנסות במידה שווה של טור פונקציות ממשיות או מרוכבות.

אם fn הן פונקציות המוגדרות על קבוצה K , וקיימת סדרת קבועים M1,M2, כך שהטור n=1Mn מתכנס ולכל n מתקיים |fn(x)|Mn לכל xK , אז טור הפונקציות n=1fn(x) מתכנס במידה שווה על K .

מבחן M של ויירשטראס הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות הנשלטת, כאשר בוחרים את המידה להיות מידת המניה מעל מרחב מידה אטומי.

הוכחה

לכל xK קבוע הטור המספרי n=1fn(x) מתכנס בהחלט על פי מבחן ההשוואה, לכן הוא גם מתכנס. נסמן את סכומו ב־S(x) ואת הסכום החלקי עד N ב־SN(x) .

n=1Mn מתכנס אז לכל ε>0 קיים N עבורו n=n0Mn<ε לכל n0N .

מתקיים:

|Sn0(x)S(x)|=|n=n0fn(x)|n=n0|fn(x)|n=NMn<ε

לכל n0N .

ולכן n=1fn(x) מתכנס במידה שווה לכל xK .

דוגמאות

להלן מספר דוגמאות, מהן ניתן גם ללמוד על אופיו של מבחן ה־M.

  • הטור n=1sin(nx)n3 מתכנס במידה שווה בכל הממשיים, שכן לכל x ממשי |sin(nx)n3|1n3 , והטור n=11n3 ודאי מתכנס. תחת נימוק דומה, גם n=1arctan(nx)n2 מתכנס במידה שווה בכל הממשיים.
  • עבור הטור n=1sin(nx)n מבחן ה־M לא עוזר, שכן שכן לכל x ממשי |sin(nx)n|1n , אבל n=11n לא מתכנס. בכל זאת, הטור מתכנס לכל x ממשי. זו דוגמה בה הכיוון ההפוך של מבחן ה־M לא נכון.
  • כידוע, הטור n=0xn מתכנס לכל |x|<1 . לפי מבחן ה־M, לא ניתן להסיק התכנסות במידה שווה על הקטע (1,1) , כי |xn|<1 . עם זאת, לכל 0<r<1 ניתן להשתמש במבחן ה־M – אז יתקיים |xn|<rn לכל |x|<r , והטור n=0rn מתכנס.

מבחן_M_של_ויירשטראס18361993Q1072412