מבחן M של ויירשטראס

באנליזה מתמטית, מבחן M של ויירשטראס הוא מבחן להתכנסות במידה שווה של טור פונקציות ממשיות או מרוכבות.

אם $f_n$ הן פונקציות המוגדרות על קבוצה $K$ , וקיימת סדרת קבועים $M_1,M_2,\dots$ כך שהטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ מתכנס ולכל $n$ מתקיים $|f_n(x)|\le M_n$ לכל $x\in K$ , אז טור הפונקציות $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ מתכנס במידה שווה על $K$ .

מבחן M של ויירשטראס הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות הנשלטת, כאשר בוחרים את המידה להיות מידת המניה מעל מרחב מידה אטומי.

הוכחה

לכל $x\in K$ קבוע הטור המספרי $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ מתכנס בהחלט על פי מבחן ההשוואה, לכן הוא גם מתכנס. נסמן את סכומו ב־$S(x)$ ואת הסכום החלקי עד $N$ ב־$S_N(x)$ .

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ מתכנס אז לכל $\epsilon >0$ קיים $N\in \mathbb{\mathbb{N}}$ עבורו $\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<\epsilon$ לכל $n_0\ge N$ .

מתקיים:

$|S_{n_0}(x)-S(x)|=|\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)|\le \sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}|f_n(x)|\le \sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<\epsilon$

לכל $n_0\ge N$ .

ולכן $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ מתכנס במידה שווה לכל $x\in K$ .

דוגמאות

להלן מספר דוגמאות, מהן ניתן גם ללמוד על אופיו של מבחן ה־M.

• הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)}{n^3}$ מתכנס במידה שווה בכל הממשיים, שכן לכל $x$ ממשי $\left|\frac{\sin (nx)}{n^3}\right|\le \frac{1}{n^3}$ , והטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}$ ודאי מתכנס. תחת נימוק דומה, גם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\arctan (nx)}{n^2}$ מתכנס במידה שווה בכל הממשיים.
• עבור הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin (nx)}{n}$ מבחן ה־M לא עוזר, שכן שכן לכל $x$ ממשי $\left|\frac{\sin (nx)}{n}\right|\le \frac{1}{n}$ , אבל $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ לא מתכנס. בכל זאת, הטור מתכנס לכל $x$ ממשי. זו דוגמה בה הכיוון ההפוך של מבחן ה־M לא נכון.
• כידוע, הטור $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$ מתכנס לכל $|x|<1$ . לפי מבחן ה־M, לא ניתן להסיק התכנסות במידה שווה על הקטע $(-1,1)$ , כי $|x^n|<1$ . עם זאת, לכל $0<r<1$ ניתן להשתמש במבחן ה־M – אז יתקיים $|x^n|<r^n$ לכל $|x|<r$ , והטור $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^n$ מתכנס.

מבחן_M_של_ויירשטראס18361993Q1072412