מבחן M של ויירשטראס

באנליזה מתמטית, מבחן ה-M של ויירשטראס הוא מבחן להתכנסות במידה שווה של טור פונקציות ממשיות או מרוכבות.

אם $f_n$ הן פונקציות המוגדרות על קבוצה K, וקיימת סדרה של קבועים $M_1,M_2,\dots$, כך שהטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ מתכנס ולכל n מתקיים $|f_n(x)|\le M_n$ לכל $x\in K$, אז טור הפונקציות $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$, מתכנס במידה שווה על K.

מבחן ה-M של ויירשטראס הוא מקרה פרטי של משפט ההתכנסות הנשלטת של לבג, כאשר בוחרים את המידה להיות מידת המניה מעל מרחב מידה אטומי.

הוכחה

לכל $x\in K$ קבוע הטור המספרי $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ מתכנס בהחלט על פי מבחן ההשוואה, לכן הוא גם מתכנס. נסמן את סכומו ב $S(x)$ ואת הסכום החלקי עד $N$ ב- $\sum _{n=1}^N{f}_n(x)=S_N(x)$

$\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{M}_n$ מתכנס אז לכל $\epsilon >0$ קיים $N\in \mathbb{\mathbb{N}}$ כך ש $\sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<\epsilon$ לכל $n_0\ge N$.

מתקיים:
$|S_{n_0}(x)-S(x)|=|\sum _{n=n_0+1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)|\le \sum _{n=n_0}^{\mathrm{\infty }}|f_n(x)|\le \sum _{n=N}^{\mathrm{\infty }}{M}_n<\epsilon$ לכל $n_0\ge N$.
ולכן $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{f}_n(x)$ מתכנס במידה שווה לכל $x\in K$. ${\displaystyle }$

דוגמאות

להלן מספר דוגמאות, מהן ניתן גם ללמוד על אופיו של מבחן ה-M.

• הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{sin(nx)}{n^3}$ מתכנס במידה שווה בכל הממשיים, שכן לכל x ממשי $\left|\frac{sin(nx)}{n^3}\right|\le \frac{1}{n^3}$, והטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^3}$ ודאי מתכנס. תחת נימוק דומה, גם $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\arctan (nx)}{n^2}$ מתכנס במידה שווה בכל הממשיים.

• עבור הטור $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{sin(nx)}{n}$ מבחן ה-M לא עוזר, שכן לכל x ממשי - $\left|\frac{sin(nx)}{n}\right|\le \frac{1}{n}$, אבל $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ לא מתכנס. בכל זאת, הטור מתכנס לכל x ממשי. זו דוגמה בה הכיוון ההפוך של מבחן הM לא נכון.

• כידוע, הטור $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^n$ מתכנס לכל $|x|<1$. לפי מבחן ה-M, לא ניתן להסיק התכנסות במידה שווה על הקטע $(-1,1)$, כי $|x^n|<1$. עם זאת, לכל $0<r<1$ ניתן להשתמש במבחן ה-M - אז יתקיים $|x^n|<r^n$ לכל $|x|<r$, והטור הממשי $\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{r}^n$ מתכנס.

קישורים חיצוניים

• מבחן M של ויירשטראס, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מבחן M של ויירשטראס36031030Q1072412