מבחן המנה

במתמטיקה, ובפרט בחשבון אינפיניטסימלי, מבחן המנה (נקרא גם מבחן המנה של ד'לאמבר או מבחן המנה של קושי^[1]) הוא מבחן התכנסות לטורים המאפשר לבחון אם טור אינסופי מתכנס או לא.

המבחן נוסח לראשונה על-ידי ז'אן לה רון ד'אלמבר ומופיע בכרך החמישי של סדרת מאמריו Opuscules mathématiques.^[2]

סימונים

בערך זה נסמן ב- $ℕ$ את קבוצת המספרים הטבעיים.

הסימונים $\lim$ ,‏ $lim sup$ ו- $lim inf$ מתייחסים לגבול, הגבול העליון והגבול התחתון בהתאמה.

נוסח המשפט

גרסה חלשה

תהי סדרה של מספרים ממשיים חיוביים ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ ויהי $\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q$ . אזי:^[3]

אם $q < 1$ הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס.
אם $q > 1$ הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתבדר.
אם $q = 1$ המבחן איננו מספיק כדי לקבוע את התכנסות הטור.

גרסה חזקה

תהי סדרה של מספרים ממשיים חיוביים ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ ויהי $\underset{n \to \infty}{lim sup} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = Q$ ו- $\underset{n \to \infty}{lim inf} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = q$ . אזי:

אם $Q < 1$ הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס.
אם $q > 1$ הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתבדר.
אם $q \leq 1 \leq Q$ המבחן איננו מספיק כדי לקבוע את התכנסות הטור.

ניתן לראות שהגרסה החלשה של המבחן נובעת מהגרסה החזקה למקרה שבו $q = Q$ .

הוכחה

מספיק להוכיח את הגרסה החזקה של המבחן כדי להוכיח את הגרסה החלשה. אין צורך להוכיח את אי-הכרעת המבחן למקרה שבו $q \leq 1 \leq Q$ שכן ניתן להראות את אי-הכרעתו באמצעות דוגמאות נגדיות (ראו פרק דוגמאות).

הוכחת התכנסות לפי המבחן

מניחים כי $Q < 1$ . בוחרים $Q < l < 1$ כלשהו. לפי תכונות הגבול העליון, קיים $N \in ℕ$ כך שלכל $n > N$ מתקיים ש- $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} < l$ . בגלל שהדבר נכון לכל $n > N$ , אפשר להראות כי:

$a_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n - 1}} \cdot \frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \dots \frac{a_{N + 1}}{a_{N}} \cdot a_{N} < l^{n - N} a_{N}$

משמע כי:

$\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n} = \sum_{n = 1}^{N - 1} a_{n} + \sum_{n = N}^{\infty} a_{n} < \sum_{n = 1}^{N - 1} a_{n} + \sum_{n = N}^{\infty} a_{N} l^{n - N} = \sum_{n = 1}^{N - 1} a_{n} + \frac{a_{N}}{1 - l} < \infty$

משמע שהטור מתכנס.

הוכחת התבדרות לפי המבחן

מניחים כי $q > 1$ . בוחרים $1 < l < q$ כלשהו. לפי הגדרת הגבול התחתון, קיים $N \in ℕ$ כך שלכל $n > N$ מתקיים ש- $\frac{a_{n + 1}}{a_{n}} > l$ . בגלל שהדבר נכון לכל $n > N$ , אפשר להראות כי:

$a_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n - 1}} \cdot \frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} \dots \frac{a_{N + 1}}{a_{N}} \cdot a_{N} > l^{n - N} a_{N}$

מכאן נובע כי $\lim_{n \to \infty} a_{n} \geq \lim_{n \to \infty} a_{N} l^{n - N} = \infty$ . כלומר, הסדרה לא מקיימת את התנאי ההכרחי להתכנסות טור אינסופי, ולכן היא לא מתכנסת.

מ.ש.ל.

דוגמאות

התכנסות לפי המבחן

נתון הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}}$ . לפי מבחן המנה:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{n + 1}{2^{n + 1}}}{\frac{n}{2^{n}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2} \frac{n + 1}{n} = \frac{1}{2} < 1$

לכן הטור בהכרח מתכנס. ניתן להראות כי:

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{n}{2^{n}} = 2$

התבדרות לפי המבחן

נתון הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{2^{n}}{n}$ . לפי מבחן המנה:

$\lim_{n \to \infty} \frac{\frac{2^{n + 1}}{n + 1}}{\frac{2^{n}}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{2 n}{n + 1} = 2$

לכן הטור בהכרח מתבדר

אי-הכרעת המבחן

יהי שתי סדרות $a_{n} : = \frac{1}{n}$ ו- $b_{n} = \frac{1}{n^{2}}$ . יש לבחון האם הטורים $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ ו- $\sum_{n = 1}^{\infty} b_{n}$ מתכנסים. לפי מבחן המנה:

$\lim_{n \to \infty} \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{n + 1}}{\frac{1}{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n}{n + 1} = 1$

$\lim_{n \to \infty} \frac{b_{n + 1}}{b_{n}} = \lim_{n \to \infty} \frac{\frac{1}{(n + 1)^{2}}}{\frac{1}{n^{2}}} = \lim_{n \to \infty} \frac{n^{2}}{(n + 1)^{2}} = 1$

עם זאת, הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$ מתבדר (זהו הטור ההרמוני) והטור $\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{2}}$ מתכנס (הטור מבעיית בזל).

כלומר, כאשר הגבול של המנות הוא 1, המבחן חסר-הכרעה.

מבחן המנה לסדרות מרוכבות

ניתן לנסח גרסה דומה למבחן המנה לכל סדרה כללית, גם כזו שאיבריה שליליים או מרוכבים:

תהי סדרה של מספרים מרוכבים ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ שאינסוף מאיבריה אינם מתאפסים (אחרת הטור הוא טור סופי ובהכרח מתכנס).

ויהי $\underset{n \to \infty}{lim sup} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = Q$ ו- $\underset{n \to \infty}{lim inf} | \frac{a_{n + 1}}{a_{n}} | = q$ . אזי:

אם $Q < 1$ הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתכנס בהחלט.
אם $q > 1$ הטור $\sum_{n = 1}^{\infty} a_{n}$ מתבדר.
אם $q \leq 1 \leq Q$ המבחן איננו מספיק כדי לקבוע את התכנסות הטור.

הוכחת המקרה הזה זהה להוכחת המקרה החיובי, עם שינויים קלים.

ראו גם

קישורים חיצוניים

מבחן המנה, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

↑ Eric W. Weisstein, Ratio Test, mathworld.wolfram.com (באנגלית)
↑ Jean d'Alembert - Biography, Maths History (באנגלית)
↑ G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics Centenary Edition, Cambridge University Press, 2008-03-13, מסת"ב 978-0-521-72055-7. (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

מבחן המנה42657248Q165638

[1] Eric W. Weisstein, Ratio Test, mathworld.wolfram.com (באנגלית)

[2] Jean d'Alembert - Biography, Maths History (באנגלית)

[3] G. H. Hardy, A Course of Pure Mathematics Centenary Edition, Cambridge University Press, 2008-03-13, מסת"ב 978-0-521-72055-7. (באנגלית)

[1]

[2]

[3]