תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

תנאי הכרחי להתכנסות טורים אינסופיים הוא שהאיבר הכללי ישאף לאפס[1]. באופן פורמלי: אם n=1an מתכנס אז limnan=0.

שימוש

כאשר בודקים אם סדרה מתכנסת או מתבדרת, לרוב בדיקה זו נבדקת תחילה תנאי הכרחי זה, בשל קלות השימוש בו.

שלא כמו מבחני התכנסות, תנאי הכרחי להתכנסות אינו יכול להוכיח בעצמו שהטור מתכנס. זאת מהסיבה הפשוטה שמדובר בתנאי הכרחי אך לא בתנאי מספיק. לפיכך, הכיוון השני של המשפט אינו נכון. כלומר, לא ניתן לומר שאם limnan=0 אז n=1an מתכנס. בהחלט ייתכן שהטור n=1an מתבדר גם אם limnan=0. מאידך, בזכות הקונטרה פוזיציה מותר לומר כי אם limnan0 או an מתבדרת, אז הטור n=1an מתבדר.

דוגמה

הסדרה ההרמונית an=1n היא דוגמה ידועה לסדרה שסכומה מתבדר, אף על פי שהאיבר הכללי שלה שואף לאפס[2]. באופן כללי, לפי "מבחן ה-p" מתקיים עבור הטור ההרמוני המוכלל n=11np כי

  • אם p0 אז הטור מתבדר.
  • אם 0<p1 אז הטור מתבדר לפי מבחן האינטגרל.
  • p>1 אז הטור מתכנס לפי מבחן האינטגרל.

באופן זה ניתן לראות כי למרות שהאיבר הכללי שואף לאפס, הטור יכול להתכנס או להתבדר.

הוכחה

נגדיר את הסדרה Sn=k=1nak כסדרת הסכומים החלקיים של הסדרה an.

מההנחה כי n=1an מתכנס נובע שהסדרה Sn מתכנסת. כלומר קיים L עבורו limnSn=L.

נשים לב כי SnSn1=(a1++an)(a1++an1)=an, אזי[3]:

limnan=limn(SnSn1)=limnSnlimnSn1=LL=0

אז מטרנזיטיביות השוויון limnan=0.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. מירון טימור, אינפי 2: טורים אינסופיים, הוצאת דקל, ‏1983
  2. Rudin p.60
  3. Brabenec p.156; Stewart p.709
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תנאי הכרחי להתכנסות טור אינסופי38148143Q2576932