יחסי קרמרס–קרוניג

יחסי קרמרס-קרוניג הם תכונות מתמטיות המקשרות את החלק הממשי והחלק המדומה של פונקציה מרוכבת שהיא אנליטית בחצי המישור העליון. יחסים אלה משמשים לעיתים קרובות לקשר בין החלק הממשי והמדומה של פונקציית היגב (response function) במערכת פיזיקלית מכיוון שסיבתיות מבטיחה שפונקציית ההיגב היא אנליטית, ולהפך, אנליטיות מבטיחה סיבתיות במערכת הפיזיקלית. היחסים קרויים על שם ראלף קרוניג והנדריק אנתוני קרמרס.

הגדרה

עבור פונקציה מרוכבת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi(\omega) = \chi_1(\omega) + i \chi_2(\omega)} של משתנה מרוכב $\omega$, שהיא פונקציה אנליטית בחצי מישור העליון של $\omega$ ושדועכת מהר יותר לאפס מאשר $\ 1/|\omega |$ בגבול הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |\omega| \rightarrow \infty} , יחסי קרמרס-קרוניג הם:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi_1(\omega) = {1 \over \pi} \mathcal{P} \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_2(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega'}

ו-

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi_2(\omega) = -{1 \over \pi} \mathcal{P} \int \limits_{-\infty}^{\infty} {\chi_1(\omega') \over \omega' - \omega}\,d\omega',}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{P}} מציין את הערך העיקרי של קושי (Cauchy principal value).

אנו רואים שהחלק הממשי והחלק המדומה אינם בלתי-תלויים, כך שאפשר לשחזר אחד מהם על סמך ידיעת השני.

פיתוח היחסים

המסילה עליה מתבצעת אינטגרציה קווית במישור המרוכב לצורך הסקת יחסי קרמרס-קרוניג.

ההוכחה מתחילה ביישום משפט השארית לאינטגרציה מרוכבת. בהינתן פונקציה אנליטית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi(\omega')} בחצי המישור העליון, הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi(\omega') /( \omega'-\omega)} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega} הוא מספר ממשי, תהיה גם היא אנליטית בחצי המישור העליון. ממשפט השארית נובע ש-

$\oint {\chi (\omega ') \over \omega '-\omega }\,d\omega '=0$

לכל מסילה בתוך אזור זה. אנו בוחרים את המסילה לעקוב אחרי הישר הממשי (real axis), ואז לעקוף מלמעלה את הקוטב ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega = \omega'} , ואז לעבור בקשת חצי-מעגלית בחצי המישור העליון כאשר רדיוסה שואף לאינסוף. אזי אנו מפרקים את האינטגרל לחלקיו השונים ותרומותיו לאורך כל חלק משלושת חלקי המסילה. אורך המסילה הקשתית באינסוף פרופורציונלי ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ |\omega|} , אך תרומתה מתאפסת אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi(\omega)} דועכת יותר מהר מאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ 1/|\omega|} . לכן אנו נשארים עם הקטע על הישר הממשי וחצי העיגול סביב הקוטב:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \oint {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' = \mathcal{P} \int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega' - i \pi \chi(\omega) = 0.}

את האיבר השני באמצע הביטוי מוצאים לפי משפט השארית. עם קצת אלגברה, מקבלים ביטוי קומפקטי שנותן את יחסי קרמרס-קרוניג

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(\omega) = {1 \over i \pi} \mathcal{P} \int \limits_{-\infty}^\infty {\chi(\omega') \over \omega'-\omega}\,d\omega'. }

הפקטור $i$ (מספר היחידה הדמיוני i²=-1) במכנה מרמז לקשר בין החלק הממשי לחלק המדומה של הפונקציה. לבסוף, רושמים את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(\omega)} כחלק ממשי וחלק מדומה, ומהביטוי לעיל מקבלים את יחסי קרמרס-קרוניג כפי שהם נתונים בסעיף "הגדרה".

פירוש פיזיקלי וצורה נוספת

ניתן ליישם את הפורמליזם של קרמרס-קרוניג לפונקציות היגב ליניאריות. בפיזיקה, פונקציית ההיגב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(t-t')} מתארת כיצד תכונה מסוימת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(t)\!} של המערכת הפיזיקלית מגיבה לשינוי חיצוני או "כוח" חיצוני הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(t')\!} , כך ש

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(t) = \int_{-\infty}^{\infty}\chi(t-t') F(t')dt' = \int_{-\infty}^{t}\chi(t-t') F(t')dt'} ,

השיויון האחרון נכון מכיוון ש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(t-t') = 0\!} עבור $t>t'\!$. זוהי המשמעות של סיבתיות הכח הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F(t')\!} יכול להשפיע רק על העתיד של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(t)\!} . על ידי שימוש במשפט הקונבולוציה הביטוי יכתב במרחב התדר כ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(\omega) = \chi(\omega) F(\omega)\!} .

כדוגמה לשימוש בביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P(t)\!} יכולה להיות זווית של מטוטלת ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \! F(t)} הכוח שמפעיל מנוע המניע את המטוטלת וכך פונקציית ההיגב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(t-t')} מתאפסת עבור $t<t'\!$ שכן המטוטלת לא יכולה להגיב לפני שההכח החיצוני פעל עליה. ניתן להראות שמתנאי הסיבתיות, נובע שטרנספורם פורייה של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(\omega)\!} הוא אנליטי בחצי מישור העליון.

הוכחה זו ניתן להתחיל מהטיעון הפשוט הבא מכיוון שהפונקציה סיבתית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(\tau<0) = 0 } הביטוי הבא הוא טריוויאלי :הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(\tau) = \chi(\tau) \Theta(\tau) } כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Theta(\tau) } היא פונקציית המדרגה. כעת ניקח טרנספורם פורייה של שני צידי המשוואה על ידי שימוש במשפט הקונבולוציה ונקבל כי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \tilde{\Theta} (\omega-\omega') \chi(\omega') \frac{d\omega'}{2\pi} }

כאשר הגדרנו את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Theta(\omega) } כטרנספורם פורייה של $\Theta (\tau )$. על מנת לבצע את הטרנספורם יש להוסיף מקדם אינפיניטסימלי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \epsilon } :

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \tilde{\Theta}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \Theta(\tau) e^{i \omega \tau}d\tau = \int_0^{\infty} e^{i \omega \tau - \epsilon\tau}d\tau = \frac{i}{\omega+i \epsilon} }

נציב את הביטוי ונקבל את יחס קרמרס קרוניג. את האינטגרל עם הקוטב האינפיטיסימלי ניתן לרשום באמצעות הביטוי לאינטגרל לא שלם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathcal{P} \int } . כאשר יש לזכור כי הקוטב נמצא בחצי השלילי של המישור המרוכב.

אם אנו משעבדים את המערכת לכוח מחזורי עם תדירות הגבוהה בהרבה מתדירות התהודה (resonance) הגבוהה ביותר שלה, למערכת לא יהיה זמן להגיב לפני שהאילוץ החליף כיוון, ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(\omega)\!} מתאפסת כש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega\!} נהיה מאוד גדול. משיקולים פיזיקליים אלה, אנו רואים ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi(\omega)\!} מספקת את התנאים עבור קיומם של יחסי קרמרס-קרוניג.

החלק המדומה של פונקציית ההיגב מתאר כיצד המערכת מאבדת אנרגיה, שכן היא לא באותו מופע עם הכוח המאלץ. מיחסי קרמרס-קרוניג נובע שמספיק לדעת את איבוד האנרגיה של המערכת כדי לקבוע את תגובתה שבאותן מופע, ולהפך.

נוסחאות אלה לא שימושיות בשחזור פונקציית ההיגב שכן האינטגרלים נעים מ-$-\infty$ עד ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \infty} , ובכך מרמזים שאנו יודעים את ההיגב בתדירויות שליליות. ברוב המערכות, התגובה לתדירויות חיוביות קובעת גם את התגובה לתדירויות שליליות שכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi(\omega)} היא טרנספורם פורייה של פונקציה ממשית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi(t-t')} , ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi(-\omega) = \chi^*(\omega)} . זה אומר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi_1(\omega) } היא פונקציה זוגית של התדירות ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi_2(\omega)} היא פונקציה אי-זוגית של התדירות.

על ידי שימוש בתכונות אלה, אפשר לצמצם את טווח האינטגרציה לקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [0,\infty)} . באמצעות היחס הראשון שנותן את החלק הממשי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi_1(\omega)} נהפוך את האינטגרל לאינטגרל עם זוגיות מוגדרת על ידי הכפלת המונה והמכנה של האינטגרנד ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \omega' + \omega} ונפריד

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi_1(\omega) = {1 \over \pi} \mathcal{P} \int \limits_{-\infty}^\infty {\omega' \chi_2(\omega') \over \omega'^2 - \omega^2}\, d\omega' + {\omega \over \pi} \mathcal{P} \int \limits_{-\infty}^\infty {\chi_2(\omega') \over \omega'^2 - \omega^2}\,d\omega'. }

מאחר ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi_2(\omega)} היא פונקציה אי-זוגית, האינטגרל השני מתאפס ואנו נותרים עם

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi_1(\omega) = -{2 \over \pi} \mathcal{P} \int \limits_{0}^{\infty} {\omega' \chi_2(\omega') \over \omega'^2 - \omega^2}\,d\omega'.}

פיתוח דומה עבור החלק המדומה נותן

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \chi_2(\omega) = {2 \over \pi} \mathcal{P} \int \limits_{0}^{\infty} {\omega \chi_1(\omega') \over \omega'^2 - \omega^2}\,d\omega' = {2 \omega \over \pi} \mathcal{P} \int \limits_{0}^{\infty} {\chi_1(\omega') \over \omega'^2 - \omega^2}\,d\omega'.}

אלו הם יחסי קרמרס-קרוניג השימושיים עבור פונקציית היגב פיזיקלית.

יישום באלקטרומגנטיות עבור מקדם דיאלקטרי

באלקטרומגנטיות ואופטיקה, חומר דיאלקטרי הוא חומר מבודד בעל מקדם דיאלקטרי יחסי, המתאר כיצד הוא מגיב לשדה חשמלי ויוצר פולריזציה (קיטוב) בחומר. למקדם הדיאלקטרי גם חלק מדומה, הקובע את הבליעה של קרינה אלקטרומגנטית בחומר. יחסי קרמרס-קרוניג מאפשרים לחשב את בליעת החומר (החלק המדומה) בהינתן מקדם דיאלקטרי כתלות בתדר (החלק הממשי), ולהפך. המקדם הדיאלקטרי היחסי נתון על ידי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \varepsilon_r = 1 + \chi}

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi} היא הסוספטיביליות החשמלית (מניחות) של החומר, המתארת את היחס בין הקיטוב שנוצר בחומר לבין השדה החשמלי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{P} = \epsilon_0 \chi \vec{E}}

מאחר שהשפעת השדה החשמלי על המטענים בחומר איננה מיידית, יש לקחת קונבולוציה של המניחות עם השדה החשמלי כדי לקבל את הקיטוב:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \vec{P} =\epsilon_0 \int_{-\infty}^{t}{ \chi(t-t') \vec{E}(t') }}

גבולות האינטגרציה הן עד זמן t כי החומר לא מגיב לפני שהופעל עליו שדה (הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ t-t' < 0} ואז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \chi(t-t'<0)=0} ). תכונה זו - הסיבתיות - מבטיחה אנליטיות של טרנספורם פורייה של המניחות למרחב התדר, ולכן את קיומם של יחסי קרמרס-קרוניג, מהם ניתן לחלץ את המניחות והמקדם הדיאלקטרי כתלות בתדר.

הוכחה קשורה במרחב הזמן

הול והק מציגים הוכחה קשורה ליחסים אלה שלא מערבת אינטגרל מסילתי. היא מבוססת על העובדות הבאות:

• ניתן לבנות תגובת הלם סיבתית מפונקציה זוגית ועוד אותה פונקציה מוכפלת בפונקציית הסימן.
• חלקים זוגיים ואי-זוגיים של פונקציית הגל במרחב הזמן מתאימים לאינטגרלי פורייה הממשיים והמדומים בהתאמה.
• הכפלה בפונקציית הסימן במרחב הזמן מתאימה לקונבולוציה עם גרעין הילברט (Hilbert kernel) במרחב התדר.

הוכחה זו שונה מזו שלמעלה בזה שהיא מקשרת את החלקים הממשי והמדומה של כל פונקציה במרחב התדר שהיא סיבתית במרחב הזמן, ועוקפת את התנאי שעל הפונקציה להיות אנליטית בחצי המישור העליון במרחב התדר.

ניתן למצוא גרסה מורחבת ויותר ציורית של הוכחה זו, למשל בלינק זה..

ראו גם

• משפט השארית
• טרנספורם הילברט
• פונקציית היגב ליניארית
• נפיצה

לקריאה נוספת

• Mansoor Sheik-Bahae: Nonlinear Optics Basics. Kramers–Kronig Relations in Nonlinear Optics, in: Robert D. Guenther (Ed.): Encyclopedia of Modern Optics, Academic Press, Amsterdam 2005, מסת"ב 0-12-227600-0
• Valerio Lucarini, Jarkko J. Saarinen, Kai-Erik Peiponen, and Erik M. Vartiainen : Kramers-Kronig relations in Optical Materials Research, Springer, Heidelberg, 2005, מסת"ב 3-540-23673-2
• J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 2nd edition, Wiley, New York (1975), Sec. 7.10, מסת"ב 0-471-43132-X.

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

26564555יחסי קרמרס–קרוניג