טופולוגיות אופרטוריות

במחקר המתמטי בתחום האנליזה הפונקציונלית קיימת מספר טופולוגיות סטנדרטיות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B(H)} - מרחב האופרטורים הליניארים החסומים על מרחב הילברט H.

הקדמה

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \{T_n\} } סדרה של אופרטורים ליניארים על מרחב הילברט H. ההצהרה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_n \to T } יכולה להיות בעלת מספר משמעויות שונות, למשל:

• התכנסות בנורמה אופרטורית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \| T_n -T \| \to 0 }
• התכנסות נקודתית: $\forall x\in H:T_{n}x\to Tx$
• התכנסות במכפלה פנימית: $\forall x,y\in H:\langle x,T_{n}y\rangle \to \langle x,Ty\rangle$

במקרה הראשון נאמר כי הסדרה מתכנסת בנורמה האופרטורית. שני המקרים האחרונים יותר מורכבים, ולמעשה מגדירים טופולוגיה על H שהיא יותר חלשה מהטופולוגיה המושרית על ידי הנורמה האופרטורית. הטופולוגיה השנייה נקראת הטופולוגיה האופרטורית החזקה (באנגלית Strong Operator Topology או SOT) והשלישית הטופולוגיה האופרטורית החלשה (באנגלית Weak Operator Topology או WOT). ניתן לראות כי הטופולוגיה הראשונה חזקה מהשנייה והשנייה חזקה מהשלישית, עם זאת, לא קיים יחס אחיד בין הטופולוגיה האופרטורית החזקה לבין הטופולוגיה החלשה הסטנדרטית.

רשימה של טופולוגיות על אופרטורים ליניאריים חסומים של מרחבי הילברט

Diagram of relations among topologies on the space B(H) of bounded

ישנו מספר רב של טופולוגיות על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B(H)} , אך אלו הבעלות חשיבות באנליזה פונקציונלית הן טופולוגיות קמורות מקומית. תכונה קריטית של טופולוגיות כאלו הוא שניתן להגדיר אותן דרך משפחה של סמי-נורמות.

למרחב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B(H)} , שהוא מרחב בנך, יש מרחב קדם-צמוד (מרחב המקיים ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B(H)} הוא הצמוד שלו) יחיד שהוא מחלקות העקבה של האופרטורים. נוכל להגדיר לכל איבר חיובי w בקדם-דואלי את הסמי-נורמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_w(x)= \langle w,x^\star x \rangle^{1/2} } .

אם B הוא מרחב וקטורי של העתקות ליניאריות על המרחב הווקטורי A, אזי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma(A,B) } מוגדרת להיות הטופולוגיה החלשה ביותר על A בה כל רכיבי B רציפים.

הטופולוגיות הנפוצות ביותר בספרות הן:

• הטופולוגיה הנורמית, הנוצרת על ידי הנורמה האופרטורית.
• הטופולוגיה החלשה של מרחבי בנך, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sigma(B(H),B(H)^\star)} - הטופולוגיה החלשה ביותר על $B(H)$ בה כל איברי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B(H)^\star } רציפים.
• טופולוגיית מק'קיי (Mackay) - הטופולוגיה הקמורה מקומית החזקה ביותר על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B(H) } כך שהמרחב הדואלי נשמר. כלומר, הטופולוגיה החזקה ביותר אשר אינה הופכת אופרטורים ליניאריים שלא היו רציפים בטופולוגיה הנורמית לרציפים. היא יותר חלשה מהטופולוגיה הנורמית, היחס בינה לטופולוגיה החלשה כוכב אינו חד משמעי והיא חזקה יותר משאר הטופולוגיות ברשימה.
• הטופולוגיה האולטרה-חזקה-כוכב היא הטופולוגיה החלשה ביותר המכילה את הטופולוגיה האולטרה-חזקה בה פעולת האינבולוציה נותרת רציפה.
• הטופולוגיה האולטרה-חזקה היא הטופולוגיה החלשה ביותר בה כל הסמי-נורמות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle p_w(x)=<w,x^\star x>^{1/2} } רציפות.
• הטופולוגיה האולטרה-חלשה, או הטופולוגיה החלשה כוכב, מוגדרת להיות הטופולוגיה החלשה ביותר בה כל הסמינורמות מהצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |<w,x>| } עבור w בקדם-דואלי של B(H).
• הטופולוגיה החזקה כוכב מוגדרת על ידי הסמינורמות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|x^\star (h)\| } ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \|x (h)\| } עבור $h\in H$.
• הטופולוגיה האופרטורית החזקה (SOT) והחלשה (WOT) כפי שהוגדרו למעלה.

בספרות השם 'הטופולוגיה החלשה' משמש לתיאור הטופולוגיה החלשה, האופרטורית החלשה והאולטרה-חלשה אף על פי שאלו טופולוגיות שונות.

ראו גם

• טופולוגיה
• מרחב הילברט
• אופרטור חסום

לקריאה נוספת

• Functional analysis, by Reed and Simon, מסת"ב 0-12-585050-6
• Theory of Operator Algebras I, by M. Takesaki (especially chapter II.2) מסת"ב 3-540-42248-X

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

22373884טופולוגיות אופרטוריות