חלום המתחיל (מתמטיקה)

איור של "חלום השנה הראשונה" בשני ממדים. כל צלע של הריבוע היא באורך X+Y. שטח הריבוע הוא סכום שטח האזור הצהוב (=X²), שטח האזור הירוק (=Y²), ושטח שני האזורים הלבנים (=2×X×Y).

חלום השנה הראשונה הוא כינוי לשוויון השגוי $(x+y{)}^n=x^n+y^n$, שבו $n$ הוא מספר ממשי (בדרך כלל שלם חיובי הגדול מ-1) ו-$x,y$ הם מספרים ממשיים שאינם אפס. תלמידים מתחילים נוהגים לטעות בחישוב חזקה של סכום מספרים ממשיים, בהניחם בטעות כי חזקות מתפלגות על סכומים.

החישוב הנכון של החזקה $(x+y{)}^n$ נעשה על ידי משפט הבינום. למשל, כאשר $n=2$, נוסחאות הכפל המקוצר מראות שהביטוי $(x+y{)}^2$ שווה ל-$x^2+2xy+y^2$, ולא ל-$x^2+y^2$.

השימוש בשם "חלום השנה הראשונה" מתייחס גם לעיתים למשפט הקובע כי עבור מספר ראשוני $p$, אם $x$ ו-$y$ הם איברים מתחלפים בחוג בעל מאפיין $p$, אז $(x+y{)}^p=x^p+y^p$. במקרה המסוים הזה, "הטעות" אכן נותנת את התוצאה הנכונה, שכן $p$ מחלק את כל המקדמים הבינומיים מלבד הראשון והאחרון, והופך את כל האיברים האמצעיים לאפס.

דוגמאות

• $(1+4{)}^2=5^2=25$, אבל $1^2+4^2=17$.
• $\sqrt{x^2+y^2}$ לא שווה ל-$\sqrt{x^2}+\sqrt{y^2}=|x|+|y|$. לדוגמה, עבור 3 ו-4, מתקיים $\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5$, אבל זה לא שווה ל-3 + 4 = 7. בדוגמה זו, הטעות נעשתה עם החזקה $n=1/2$.

מאפיין ראשוני

כאשר $p$ הוא מספר ראשוני ו-$x$ ו-$y$ הם חברים בחוג חילופי בעל מאפיין $p$, אז $(x+y{)}^p=x^p+y^p$. ניתן להוכיח זאת באמצעות בחינת הגורמים הראשוניים של המקדמים הבינומיים:

$(\genfrac{}{}{0ex}{}{p}{n})=\frac{p!}{n!(p-n)!}.$

המונה הוא $p$ עצרת (!), שהיא מתחלקת ב-$p$. עם זאת, כאשר $0<n<p$, גם $n!$ וגם $(p-n)!$ זרים ל-$p$, שכן כל הגורמים קטנים מ-$p$ ו-$p$ הוא מספר ראשוני. מכיוון שמקדם בינומי הוא תמיד מספר שלם, המקדמים הבינומיים עבור $n$ בין $1$ ל-$p-1$ מתחלקים ב-$p$ ולכן שווים ל-0 בחוג. נשארים המקדם הראשון והאחרון, ששניהם שווים ל-1, והתוצאה היא המשוואה הרצויה.

לכן, במאפיין $p$, חלום השנה הראשונה מתקיים. תוצאה זו מראה שהעלאה בחזקת $p$ יוצרת אנדומורפיזם, הידוע כאנדומורפיזם פרובניוס של החוג.

הערות שוליים

ערך זה הוא יתום, כלומר אין ערכים במכלול שמקשרים אליו. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולקשר אליו מכמה מהערכים שמכילים את המונח "חלום המתחיל (מתמטיקה)".

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

חלום המתחיל (מתמטיקה)40201736Q4120528