זהות ויינשטיין-ארונסיין
בערך זה |
זהות ויינשטיין-ארונסיין שידועה גם כזהות הדטרמיננטה של סילבסטר קובעת שאם $ A\in M_{m\times n}(F) $ היא מטריצה עם m שורות ו-n עמודות, ו-$ B\in M_{n\times m}(F) $ היא מטריצה עם n שורות ו-m עמודות, אזי הדטרמיננטה מקיימת $ {\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det(I_{n}+BA)} $ כאשר $ I_{k} $ היא מטריצת היחידה מסדר k.
נוסחה זו שימושית כאשר n הוא מספר גדול ו-m קטן משמעותית ממנו, ורוצים לחשב דטרמיננטות מהסוג הנ"ל במחשב, שכן הסיבוכיות של חישוב נומרי של דטרמיננטה של מטריצה ריבועית מסדר k הוא $ {\mathcal {O}}(k^{3}) $.
הוכחה
נשים לב, שלפי כללי דטרמיננטה של מטריצת בלוקים: $ {\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}} $ אבל את מטריצת הבלוקים אפשר לכתוב כמכפלת מטריצות: $ {\displaystyle {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{m}&A\\0&I_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{bmatrix}}=X\cdot Y} $ כעת נעזר בכפליות הדטרמיננטה: $ {\displaystyle \det(XY)=\det(X)\det(Y)=\det(Y)\det(X)=\det(YX)} $ ברם, $ {\displaystyle YX={\begin{bmatrix}I_{m}&-A\\B&I_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}I_{m}&A\\0&I_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}} $ אבל שוב מחישוב דטרמיננטה של מטריצת בלוקים נקבל $ {\displaystyle \det {\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}=\det(I_{n}+BA)} $
ואם נסכם הכל:$ {\displaystyle \det(I_{m}+AB)=\det {\begin{bmatrix}I_{m}+AB&0\\B&I_{n}\end{bmatrix}}=\det {\begin{bmatrix}I_{m}&0\\B&I_{n}+BA\end{bmatrix}}=\det(I_{n}+BA)} $
מש"ל.
ידועות הכללות של הנוסחה, כגון $ \det(a+b-axb)=\det(a+b-bxa) $ לכל שלוש מטריצות ריבועיות a,b,c (D. Khurana and T. Y. Lam, 2024).
קישורים חיצוניים
Sylvester's Determinant Identity, סרטון בערוץ "Michael Penn", באתר יוטיוב (אורך: 11:23)
זהות ויינשטיין-ארונסיין40308406Q7660749