שדה ציקלוטומי

בתורת המספרים האלגברית, שדה ציקלוטומי הוא שדה מספרים מהצורה $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_n]$, כלומר, הרחבה של שדה המספרים הרציונליים על ידי סיפוח של שורש יחידה מסדר n. משפט קרונקר-ובר מבסס את התפקיד המרכזי של השדות הציקלוטומיים בתורת המספרים האלגברית.

ההרחבה המתקבלת היא הרחבת גלואה, שחבורת גלואה שלה היא חבורת אוילר $U_n$. בפרט, ממד ההרחבה הוא $\varphi (n)$, כאשר $\varphi$ היא פונקציית אוילר. הפולינום המינימלי של ${\zeta }_n$ הוא הפולינום הציקלוטומי ${\mathrm{\Phi }}_n$.

כמה מהשדות הציקלוטומיים הראשונים הם $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_1]=\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_2]=\mathbb{\mathbb{Q}}$; $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_3]=\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_6]=\mathbb{\mathbb{Q}}[\sqrt{-3}]$ (משום ש-${\zeta }_3=\frac{-1+\sqrt{-3}}{2}$); $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_4]=\mathbb{\mathbb{Q}}[\sqrt{-1}]$; $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_5]=\mathbb{\mathbb{Q}}[\sqrt{\frac{-(5+\sqrt{5})}{2}}]$; ו- $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_8]=\mathbb{\mathbb{Q}}[\sqrt{-1},\sqrt{2}]$. מדוגמאות אלה אפשר ליצור אחרות, משום שאם n,m זרים, אז $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_{nm}]=\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_n,{\zeta }_m]$. למשל, $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_{24}]=\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_3,{\zeta }_8]=\mathbb{\mathbb{Q}}[\sqrt{-1},\sqrt{2},\sqrt{3}]$.

את המצולע המשוכלל בעל n צלעות אפשר לבנות במחוגה וסרגל (במילים אחרות, השדה הציקלוטומי $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_n]$ מוכל בשדה המספרים הניתנים לבניה) אם ורק אם $\varphi (n)$ הוא חזקה של 2; דבר זה קורה אם ורק אם n הוא חזקת 2, כפול מכפלה של ראשוניי פרמה שונים, כדוגמת 3,5,17 או 257. חבורת גלואה של השדה הציקלוטומי מאפשרת לחשב את קוסינוס הזווית במצולעים המשוכללים. לדוגמה, $\cos (\frac{2\pi }{17})=\frac{\frac{\sqrt{17}-1}{2}+\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}}+\sqrt{(3+\sqrt{17})(\sqrt{17}-\sqrt{\frac{17-\sqrt{17}}{2}})}}{8}$.

כצעד ראשון בהבנת השדות הציקלוטומיים מתבוננים בשדה המתקבל מסיפוח שורש יחידה מסדר ראשוני, p, שאפשר להניח שהוא אי-זוגי. במקרה זה, חוג השלמים של השדה הוא המועמד הטבעי $\mathbb{\mathbb{Z}}[{\zeta }_p]$. הדיסקרימיננטה של ההרחבה $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_p]/\mathbb{\mathbb{Q}}$ היא $(-1{)}^{(p-1)/2}{p}^{p-2}$, ובהתאמה לזה השדה מכיל את השורש של $p^{*}=(-1{)}^{(p-1)/2}p$ (בדוגמאות לעיל אפשר לראות ש- $\sqrt{5}\in \mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_5]$, ובדומה לזה $\sqrt{-7}\in \mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_7]$). זוהי דוגמה ראשונה למשפט קרונקר-ובר, שלפיו כל הרחבה אבלית K של המספרים הרציונליים מוכלת בשדה ציקלוטומי $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_m]$. הסדר m המינימלי כנ"ל נקרא הקונדקטור של K.

מחישוב הדיסקרימיננטה נובע שהראשוני המסועף היחיד בהרחבה $\mathbb{\mathbb{Q}}[{\zeta }_p]/\mathbb{\mathbb{Q}}$ הוא p; ראשוני זה הוא מסועף לחלוטין: $⟨p⟩=⟨1-{\zeta }_p{⟩}^{p-1}$.

קישורים חיצוניים

• גדי אלכסנדרוביץ', חבורת שורשי היחידה ושדות ציקלוטומיים, באתר "לא מדויק", 12 בפברואר 2009
• שדה ציקלוטומי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שדה ציקלוטומי30259948Q1554628