הנוסחה המפורשת של רימן פון מנגולד

הנוסחה המפורשת של רימן פון מנגולד היא נוסחה לפונקציה השנייה של צ'בישב באמצעות אפסים (והקטבים) של פונקציית זטא של רימן. הפונקציה השנייה של צ'בישב סופרת באופן ממושקל את חזקות הראשוניים עד לערך נתון. מנוסחה זאת קל יחסית להסיק נוסחאות מפורשות לפונקציית המספרים הראשוניים $\pi (x)$. בצורה זאת הנוסחה תקפה רק עבור $x>0$ לא שלם. נוסחה זאת ודומת לה סללו את הדרך להוכחת משפט המספרים הראשוניים.

הנוסחה

$$\sum _{n\in \mathbb{\mathbb{N}};p-\text{ ינושאר};p^n<x}\ln (p)=-\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}-\sum _{\rho \in \mathbb{ℂ}}{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_{\rho }\zeta \cdot \frac{x^{\rho }}{\rho }$$ אגף שמאל של הנוסחה נקרא פונקצית צ'בישב השניה ומסומן בדרך כלל ב-$\psi (x)$. הנוסחה תקפה ל- $x$ ממשי שאינו שלם. אם $x$ שלם אז צריך להחליף את אגף שמאל בממוצע עריכיו מיד לפני ומיד אחרי $x$. תיקון זה של פונקצית צ'בישב השניה מסומן בדרך כלל ב-${\psi }_0(x)$. הסימון ${\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_{\rho }$ מתיחס לריבוי האפס שיש לפונקציית זטא של רימן בנקודה $\rho$. אם $\rho$ היא קוטב, אז ריבוי האפס מוגדר להיות מינוס מעלת הקוטב. אם אין בנקודה אפס או קוטב אז הריבוי הוא $0$. הסכום באגף ימין נראה כאילו הוא רץ על קבוצה מעוצמת הרצף אולם בפועל הוא בן מניה, כיוון שכמעט תמיד הערך של ${\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_{\rho }$ הוא $0$. הסכום מתכנס בתנאי. כדי לקבל התכנסות זו יש לקחת את הגבול של הסכומים החלקיים על פי עיגולים גדלים סביב אפס.

ניתן להפוך נוסחה זו למפורשת יותר באופן הבא:

• לחשב את $\frac{{\zeta }^{\prime }(0)}{\zeta (0)}$
• לחשב את התרומה של הקוטב היחיד של פונקציית זטא של רימן לאגף ימין. תרומה זו היא הפונקציה $x$ והיא מהווה את עיקר הערך של אגף ימין עבור

$x$ גדול.

• לחשב את התרומה של כל האפסים הטריוויאליים של פונקצית זטא של רימן
• לשים לב שבהתאם להוכחת משפט המספרים הראשוניים כל יתר הקטבים הם ברצועה $\mathrm{\Re }(z)\in (0,1)$.

כך מתקבלת הנוסחה הבאה: $${\psi }_0(x)=x-\ln (2\pi )-\frac{1}{2}\log (1-x^{-2})-\sum _{\mathrm{\Re }(\rho )\in (0,1)}{\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{d}}_{\rho }\zeta \cdot \frac{x^{\rho }}{\rho }$$

הוכחת הנוסחה

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

קשר לנוסחה המפורשת של רימן עבור פונקצית הספירה של המספרים הראשוניים

פרק זה לוקה בחסר. אנא תרמו למכלול והשלימו אותו.

קישורים חיצוניים

• הנוסחה המפורשת של רימן פון מנגולד, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

הנוסחה המפורשת של רימן פון מנגולד41537102Q135471579