אקסיומת מרטין

בתורת הקבוצות, אקסיומת מרטין היא אקסיומה שמבטיחה כי המודל יחסית סגור (במובן שיתואר בהמשך) תחת הפעלות של כפיות מסוימות. אקסיומות מהצורה הזו נקראות באופן כללי אקסיומות כפייה. אקסיומת מרטין, שהוצעה על ידי דונלד מרטין ורוברט סולוביי ב-1970, הייתה האקסיומה הראשונה מהצורה הזו, והוכחת העקביות שלה במסגרת ZFC היא דוגמה לעוצמה של שיטת החזרה על כפייה.

במובנים מסוימים, אקסיומת מרטין מאפשרת לבצע בניות באורך עד לעוצמת הרצף, שבאופן סטנדרטי ניתן לבצע אותם רק עד לאורך $\aleph _{1}$.

הגדרה

יחס סדר חלקי P מקיים את תנאי אנטי-השרשרת בת המנייה (c.c.c) אם בכל אוסף לא בן מנייה של איברים של P יש זוג איברים r,s שיש להם המשכה משותפת, כלומר יש ב-P איבר t, $t\leq r\land t\leq s$. אם לזוג איברים יש המשכה משותפת נאמר שהם "מתיישבים".

בשיטת הכפייה אנחנו מצרפים למודל הבסיס מסנן גנרי על P, כלומר קבוצת איברים G שמוכלת ב-P, כל שני איברים בה מתיישבים והיא נחתכת עם כל הקבוצות הצפופות של P שנמצאות במודל הבסיס. קבוצה כזו תהיה חיצונית למודל הבסיס, למעט במקרים טריוויאליים. הקבוצה G תיקרא D-גנרית, (כאשר D אוסף של קבוצות צפופות) אם היא נחתכת עם כל קבוצה מתוך האוסף D. כאשר D היא קבוצה קטנה יותר מאוסף כל הקבוצות הצפופות, ייתכן שתהיה קבוצה D-גנרית כבר בתוך מודל הבסיס.

אקסיומת מרטין (MA) גורסת כי:

אם P מושג כפייה (כלומר יחס סדר), המקיימת c.c.c. ו-D היא אוסף של קבוצות מעוצמה הקטנה מעוצמת הרצף, אז יש תת-קבוצה של P שהיא מסנן D-גנרי.

באופן דומה, ניתן לנסח את האקסיומה MA(k)‎ כאשר k הוא מונה כלשהו בין $\aleph _{0}$ לעוצמת הרצף, כקיום אותו התנאי עבור קבוצות D מעוצמה k. כלומר, MA היא למעשה הדרישה שיתקיים MA(k)lrm; לכל k שקטן מהרצף.

תמיד מתקיים $MA(\aleph _{0})$. למעשה בכל כפייה שהיא, גם כזו שאינה מקיימת c.c.c., לכל אוסף בן מנייה של קבוצות צפופות D, ניתן למצוא קבוצה G שכל איברים מתיישבים והיא נחתכת עם כל קבוצה מתוך D: נמספר את הקבוצות הצפופות שב-D ובשלב ה-n נוסיף ל-G איבר שקטן יותר מכל האיברים הקודמים שהכנסנו לקבוצה ששייך לקבוצה הצפופה ה-n-ית. זה אפשרי לפי ההגדרה של קבוצה צפופה.

מצד שני, לא יכול להתקיים $MA(2^{\aleph _{0}})$, כיוון שהוספת ממשי כהן היא כפייה המקיימת c.c.c והיא בעלת רצף קבוצות צפופות. כל מסנן שנחתך עם כל הקבוצות הצפופות יוסיף בהכרח מספר ממשי חדש למודל, ולכן יהיה חיצוני למודל הבסיס.

מסקנות

לאקסיומת מרטין יש מספר גדול מאד של מסקנות, וביניהן:

• עוצמת הרצף היא מונה סדיר.
• איחוד של פחות מעוצמת הרצף קבוצות ממידה אפס, היא קבוצה ממידה אפס.
• עצי סוסלין לא קיימים (למעשה הוכחת העקביות של אקסיומת מרטין היא וריאציה על הכפייה שמראה את העקביות של אי קיום עצי סוסלין).
• מכפלה של שני יחסי סדר המקיימים c.c.c מקיימת גם כן c.c.c.
• אם X מרחב האוסדורף קומפקטי שעוצמתו קטנה מעוצמת הרצף, אז הוא קומפקטי סדרתית, כלומר לכל סדרה בו יש תת-סדרה מתכנסת.
• לכל אוסף בגודל קטן מהרצף של סדרות של טבעיים קיימת סדרה של טבעיים שגדולה יותר מכל סדרה מהאוסף באינסוף קואורדינטות.

נדגים את השימוש באקסיומת מרטין לגבי התוצאה האחרונה. נניח כי יש לנו אוסף A של סדרות של מספרים טבעיים. אנחנו רוצים להראות שיש סדרה f (שנחשוב עליה כפונקציה מהטבעיים אל הטבעיים), כך שלכל איבר g של A, $|\{n|f(n)>g(n)\}|=\aleph _{0}$. נשתמש במושג כפייה הבא (השקול להוספת ממשי כהן): $P=\{p|\,\exists n<\omega \,\,p:n\rightarrow \omega \}$ כאשר כרגיל $\omega$ הוא אוסף המספרים הטבעיים. יחס הסדר על P יהיה יחס ההכלה ההפוכה כלומר p חזק מ-q אם p מכיל את q (כלומר למעשה p מרחיב את הפונקציה q). אוסף הקבוצות הצפופות איתן נדרוש שהמסנן הגנרי ייחתך הוא:

$D=\{D_{a,n}|a\in A,\,n\in \omega \}$

$D_{a,n}=\{p\in P|dom(p)>n\land \exists m\geq n,\,\,p(m)>a(m)\}$

כל אחת מהקבוצות $D_{a,n}$ היא צפופה כיוון שבהינתן תנאי p, כדי לקבל תנאי q חזק מ-p בתוך הקבוצה הזו, אפשר פשוט להרחיב את p עד מעבר ל-n (על ידי הוספת ערכים שרירותיים), אם יש צורך, ואז לבחור m>n שעדיין לא קבענו את ערכו ולקבוע את p(m)‎ להיות גדול יותר מ-a(m)‎.

אקסיומת מרטין מבטיחה לנו קיום מסנן D-גנרי G. מסנן זה מגדיר סדרה $f_{G}=\bigcup _{p\in G}p$, וכיוון שהמסנן נחתך עם כל קבוצה ב-D - היא תקיים את התכונה הרצויה ותנצח כל סדרה מ-A אינסוף פעמים.

נעיר כי את אותה תוצאה לגבי A בת מנייה ניתן להשיג באופן ישיר על ידי ליכסון.

הוכחת ההתיישבות

הוכחת ההתיישבות של אקסיומת מרטין ביחס ל-ZFC, כאשר עוצמת הרצף יכולה להיות גבוהה כרצוננו, נעשית באמצעות טכניקה הנקראת חזרה על כפייה. הטכניקה הזו ממירה שרשרת ארוכה של כפיות עוקבות בכפייה יחידה במודל הבסיס.

כדי לכפות את התקיימות אקסיומת מרטין נרצה לעבור על כל יחסי הסדר שמקיימים c.c.c. ולכל אחד מהם לכפות מסנן גנרי. כיוון שבתהליך נוצרים יחסי סדר חדשים שמקיימים c.c.c., אנחנו צריכים להמשיך לכפות מסננים גנריים גם ליחסים החדשים שנוצרו וכן הלאה. שיטת החזרה על כפייה מאפשרת לאחד את שרשרת הכפיות האינסופית הזו לכפייה בודדת במודל הבסיס, ומבטיחה גם כי אנחנו "תופסים את הזנב", כלומר כל יחס סדר שנוצר במהלך התהליך כבר טופל בשלב מתקדם מספיק של התהליך.

מרכיב קריטי להצלחת התהליך הוא ההגבלה של העוצמה של אוסף יחסי הסדר בהם צריך לטפל. ניתן להראות שכדי שאקסיומת מרטין תתקיים, למעשה מספיק לטפל רק ביחסי סדר שעוצמתם קטנה מעוצמת הרצף.

בחינה של מושג הכפייה שמתקבל מראה כי הוא גם מקיים c.c.c ולכן הוא לא ממוטט מונים.

הרחבות

לאקסיומת מרטין יש מספר הרחבות, כלומר אקסיומות כפייה אחרות שמחלישות את תנאי ה-c.c.c. ובכך משיגות סגירות של המודל תחת מחלקה רחבה יותר של כפיות. בדרך כלל, לא ניתן לבסס את העקביות של ההרחבות האלו רק מתוך ZFC, ולשם כך נדרשים מונים גדולים.

שאלות לגבי חוזק ההתיישבות המדויק של אקסיומות הכפייה השונות הן שאלות מרכזיות בתחום המונים הגדולים בתורת הקבוצות.

הרחבה רבת עוצמה של אקסיומת מרטין היא PFA - אקסיומת הכפייה הנאותה, הגורסת את אותם תנאי הסגירות עבור מחלקה רחבה של כפיות (הכפיות הנאותות), כאשר אנחנו מגבילים את גודל קבוצת הצפופות D ל-$\aleph _{1}$. כדי להראות את העקביות של האקסיומה הזו נעשה שימוש במונה על-קומפקטי.

הרחבה חזקה עוד יותר היא MM - המקסימום של מרטין, שדורשת את תנאי הסגירות עבור כל הכפיות שמשמרות את קבוצות השבת של $\omega _{1}$. גם העקביות של האקסיומה הזו הוכחה ביחס לקיום מונה על-קומפקטי.

אקסיומה זו היא מקסימלית, במובן שלא ניתן להניח את קיום תנאי הסגירות עבור כפיות שלא משמרות קבוצות שבת - לכל כפייה שהורסת קבוצת שבת של $\omega _{1}$, יש אוסף צפופות D בגודל $\aleph _{1}$ כך שאין במודל הבסיס מסנן D-גנרי.