אקוטוטיאנט

בערך זה נעשה שימוש בסימנים מוסכמים מתחום המתמטיקה. להבהרת הסימנים ראו סימון מתמטי.

במתמטיקה, אקוטוטיאנט הוא מספר טבעי n שלא ניתן לבטא אותו כהפרש בין מספר טבעי m לבין כמות המספרים הקטנים מ-m שזרים ל-m.

הגדרה

בניסוח פורמלי יותר: מספר טבעי כלשהו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם למשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m - \varphi(m) = n} , כאשר $\varphi$ מייצג את פונקציית אוילר, אין פתרון מעל המספרים הטבעיים.

הקוטוטיאנט של m מוגדר כהפרש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle m - \varphi(m)} , כלומר, כמות המספרים הקטנים מ-m שאינם זרים לו.

ולכן הגדרה נוספת היא: מספר טבעי כלשהו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} הוא מספר אקוטוטאינטי אם ורק אם הוא אינו קוטוטיאנט של אף מספר טבעי.

תחילתה של סדרת המספרים האקוטוטיאנטים היא:

10, 26, 34, 50, 52, 58, 86, 100, 116, 122, 130, 134, 146, 154, 170, 172, 186, 202, 206, 218, 222, 232, 244, 260, 266, 268, 274, 290, 292, 298, 310, 326, 340, 344, 346, 362, 366, 372, 386, 394, 404, 412, 436, 466, 470, 474, 482, 490,...

זוגיות המספרים האקוטוטיאנטים

משוער כי כל המספרים האקוטוטיאנטים הם זוגיים. ההשערה מתבססת על השערת גולדבך: אם ניתן לייצג את המספר הזוגי n כסכום של שני ראשוניים שונים p ו-q, אזי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle pq - \varphi(pq) = pq - (p-1)(q-1) = p+q-1 = n-1}

כלומר, המספר האי זוגי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n-1} הוא הקוטוטיאנט של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle pq} , ולכן אינו אקוטונטיאנט.

לפי השערת גולדבך, כל מספר זוגי גדול מ-6 הוא סכום של שני ראשוניים נפרדים, כך שככל הנראה, אף מספר אי-זוגי שגדול מ-5 אינו אקוטוטיאנט. שאר המספרים האי-זוגיים אינם אקוטוטיאנטים כי: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1=2-\varphi(2), 3 = 9 - \varphi(9)} ו הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle 5=25-\varphi (25)} .

עבור מספרים זוגיים, ניתן להראות כי

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2pq - \varphi(2pq) = 2pq - (p-1)(q-1) = pq+p+q-1 = (p+1)(q+1)-2}

לפיכך, כל המספרים הזוגיים n שעבורם מתקיים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (p+1)\times(q+1)=n+2} (כש הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n = p + q} ראשונים כלשהם) הם קוטוטיאנטים.

סדרות קשורות

26	25	24	23	22	21	20	19	18	17	16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0	n
סדרת הקוטוטיאנט של n
14	5	16	1	12	9	12	1	12	1	8	7	8	1	8	1	6	3	4	1	4	1	2	1	1	0	-	cototient(n)
סדרת המספרים k כך ש k המספר הכי קטן שהקוטוטיאנט שלו הוא n (0 אם לא קיים k כזה - כלומר אם n אקוטוטיאנט):
0	69	36	95	30	45	38	51	34	65	24	39	26	33	18	35	0	21	12	15	10	25	6	9	4	2	1	k
סדרת המספרים l כך ש l המספר הכי גדול שהקוטוטיאנט שלו הוא n (0 אם לא קיים l כזה - כלומר אם n אקוטוטיאנט):
0	133	46	529	30	85	38	361	34	289	32	55	26	169	22	121	0	27	16	49	10	25	8	9	4	∞	1	l
סדרת המספרים s כך ש-s הוא כמות המספרים שהם הקוטוטיאנט של n:
0	3	4	4	1	3	1	3	1	3	3	2	1	2	3	2	0	2	3	2	1	1	2	1	1	∞	1	s

שכיחות האקוטיאנטים

ארדש (1913-1996) ו-שרפינסקי (1882-1969) חקרו האם קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים. לבסוף הוכח על ידי Browkin and Schinzel (1995) כי אכן קיימים אינסוף מספרים אקוטוטיאנטים, השניים הראו כי כל אחד מהאיברים בסדרה האינסופית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^k \cdot 509203} הוא מספר אקוטוטיאנטי. מאז התגלו סדרות אינסופיות נוספות, מצורה דומה, שגם עבורן כל איבריהן הם מספרים אקוטוטיאנטים.

לקריאה נוספת

• Browkin, J.; Schinzel, A. (1995). J. Browkin, A. Schinzel, On integers not of the form \(n-\varphi(n)\), Colloquium Mathematicum 68, 1995, עמ' 55–58 doi: 10.4064/cm-68-1-55-58.
• Flammenkamp, A.; Luca, F. (2000). A. Flammenkamp, F. Luca, Infinite families of noncototients, Colloquium Mathematicum 86, 2000, עמ' 37–41 doi: 10.4064/cm-86-1-37-41.
• Guy, Richard K. (2004). Richard K. Guy, Unsolved problems in number theory, 3rd ed., New York, NY: Springer-Verlag, 2004, Probl. Books Math.. (בenglish).

קישורים חיצוניים

• הגדרת אקוטוטיאנטיות לפי MathWorld

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אקוטוטיאנט33733056Q1172925