אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית

באלגברה, אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית היא אלגברה לא אסוציאטיבית, שבה החזקות $x^{n}$ מוגדרות היטב, ללא צורך בסוגריים; למשל $x((xx)x)=(xx)(xx)$, וכן הלאה. למחלקה זו שייכת המשפחה הרחבה של אלגברות ז'ורדן לא קומוטטיביות, הכוללת את כל האלגברות האלטרנטיביות (ובכללן האלגברות האסוציאטיביות), אלגברות ז'ורדן, ואלגברות לי.

הגדרה אקסיומטית

בכל אלגברה לא אסוציאטיבית אפשר להגדיר את החזקות באינדוקציה: $x^{n+1}=x\cdot x^{n}$, כאשר $x^{1}=x$. לאלגברה יש חזקה אסוציאטיבית (ח"א) אם מתקיים $x^{i}\cdot x^{j}=x^{i+j}$ לכל $i,j$.

בפרט, הקומוטטור $[x,x^{2}]$ והאסוציאטור הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle (x,x,x^{2})=x^{2}\cdot x^{2}-x\cdot x^{3}} מתאפסים. במאפיין אפס, הזהות הכללית נובעת משתי הנחות אלה. במאפיין שאינו 2, 3 או 5, כל אלגברה קומוטטיבית המקיימת את הזהות $x^{2}\cdot x^{2}=x\cdot x^{3}$ היא אלגברה (קומוטטיבית) עם חזקות אסוציאטיביות; במאפיין 3 ו-5 יש צורך גם בזהויות מדרגה 5 או 6 כדי להגיע לאותה מסקנה.

באלגברה יש חזקה אסוציאטיבית אם כל תת-אלגברה הנוצרת על ידי איבר אחד היא אסוציאטיבית. לשם השוואה, אלגברה היא אלטרנטיבית אם כל תת-אלגברה הנוצרת על ידי שני איברים היא אסוציאטיבית.

חזקה אסוציאטיבית בהחלט

לאלגברה $A$ יש חזקה אסוציאטיבית בהחלט (strictly power-associative) אם יש לה חזקה אסוציאטיבית לאחר כל הרחבת סקלרים, כלומר כל האלגברות $A\otimes _{F}K$ הן בעלות חזקה אסוציאטיבית (כאשר $K/F$ הרחבת שדות כלשהי). במאפיין שאינו 2, 3 או 5, כל אלגברה קומוטטיבית בעלת חזקה אסוציאטיבית היא בעלת חזקה אסוציאטיבית בהחלט.

המעטפת הקומוטטיבית

במאפיין שונה מ-2, אפשר להגדיר פעולה חדשה על המרחב הווקטורי של האלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} , לפי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x*y=\frac{1}{2}(xy+yx)} . באלגברה בעלת חזקה אסוציאטיבית, האלגברה המתקבלת, המסומנת ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^+} , היא קומוטטיבית ובעלת חזקה אסוציאטיבית. מכיוון שלשתי האלגברות אותו מבנה חיבורי, אפשר להעביר תכונות שונות של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^+} גם ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} .

תורת מבנה

לאלגברות בעלות חזקה אסוציאטיבית מממד סופי יש רדיקל נילי (היינו, אידיאל נילי מקסימלי יחיד), הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N} ; הרדיקל הנילי הוא נילפוטנטי. הרדיקל הנילי מכיל את הרדיקל הפתיר של האלגברה. בעיית אלברט שואלת האם הרדיקל הנילי שווה לרדיקל הפתיר בכל אלגברה קומוטטיבית עם חזקה אסוציאטיבית. אלגברה קומוטטיבית פתירה ונילית עם חזקה אסוציאטיבית אינה בהכרח נילפוטנטית.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=0} , האלגברה היא פשוטה למחצה, ואם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle N=A} הוא האלגברה כולה, זוהי אלגברה נילית. לדוגמה, כל אלגברת לי היא אלגברה נילית. במאפיין אפס, כל אלגברה קומוטטיבית בעלת ח"א שהיא פשוטה למחצה, היא אלגברת ז'ורדן. בכל מאפיין שאינו שתיים, אלגברה קומוטטיבית בעלת ח"א בהחלט, שהיא פשוטה ואינה נילית, ושקיימת לה הרחבת סקלרים עם שלושה אידמפוטנטים אורתוגונליים, היא אלגברת ז'ורדן.

במאפיין שונה מ-5, לאלגברה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} עם חזקה אסוציאטיבית שיש לה תבנית ביליניארית סימטרית אסוציאטיבית (בדומה לאלגברות פרובניוס) כך ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (e,e)\neq 0} אם הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle e\neq 0} הוא אידמפוטנט ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (x,y)=0} אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle xy} נילפוטנט, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A/\operatorname{Nil}A} אלגברת ז'ורדן לא קומוטטיבית, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \operatorname{Nil}A} הוא הרדיקל של התבנית.

פירוק פירס

בכל אלגברה עם ח"א מממד סופי, שאינה נילית (ואפילו אם אין מניחים שיש בה איבר יחידה), יש אידמפוטנטים (איברים המקיימים את השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^2=e} ). קיומם של אלה מאפשר לפרק את האלגברה למעין מרחבים עצמיים, כמו במקרה האסוציאטיבי, כפי שיוסבר להלן.

כל אידמפוטנט של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} הוא גם אידמפוטנט של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^+} , והפירוק של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A} מתקבל מפירוק מקביל של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A^+} . על-כן נניח בהמשך הסעיף שהמאפיין של שדה הבסיס שונה מ-2. אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e} אידמפוטנט, אז אפשר לפרק את האלגברה לסכום ישר $A=A_{0}\oplus A_{1/2}\oplus A_{1}$, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{i} = \{x : xe+ex=2ix\}} ; למעשה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_0 = \{x: xe=ex=0\}} בעוד ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_1 = \{x: xe=ex=x\}} (ולכן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e\in A_1} הוא איבר יחידה שם).

במקרה הקומוטטיבי, מרכיבי הפירוק מקיימים את היחסים הבאים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_0A_1 = 0} , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_{1/2}A_{1/2} \subseteq A_0+A_1} , ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_i A_{1/2} \subseteq A_{1/2}+A_{1-i}} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=0,1} . לשם השוואה, בפירוק פירס של אלגברת ז'ורדן (שהיא תמיד קומוטטיבית ובעלת חזקה אסוציאטיבית) מתקיים היחס החזק יותר, הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_iA_{1/2} \subseteq A_{1/2}} עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle i=0,1} .

בנוסף לזה, אם מסמנים ב-$h:A\rightarrow A_{1/2}$ את ההיטל על המרכיב המתאים בפירוק לעיל, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle x\mapsto 2\cdot h\circ L_x} מגדיר הומומורפיזמים של אלגברות, מ-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_0,A_1} לאלגברת ז'ורדן המיוחדת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H^+} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H = \operatorname{Hom}(A_{1/2})} .

אלגברות חילוק

באלגברת חילוק מממד סופי שהיא בעלת ח"א בהחלט, יש איבר יחידה.

במאפיין שונה מ-2, 3 ו-5, לא קיימת אלגברת חילוק סופית בעלת ח"א, שאינה שדה. תוצאה זו נכונה גם במאפיין 3 או 5 אם מניחים ח"א בהחלט

מקורות

• An Introduction to Nonassociative Algebra, R. D. Schafer.
• L.A. Kokoris, New Results on Power-Associative Algebras, Transactions of the American Mathematical Society 77(3), 363-373 (1954).

קישורים חיצוניים

• אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אלגברה עם חזקה אסוציאטיבית38891705