אי-שוויון פלי-זיגמונד

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, אי-שוויון פלי-זיגמונד מספק חסם על ההסתברות שמשתנה מקרי אי-שלילי הוא קטן ביחס לתוחלת ולשונות שלו. הוכחה ראשונה לאי-השוויון הזה ניתנה על ידי אנתוני זיגמונד וריימונד פלי ב-1932.

משפט: יהי Z ≥ 0 משתנה מקרי בעל שונות סופית, ויהי  0<θ<1 קבוע. אז Pr{ZθE(Z)}(1θ)2(E(Z))2E(Z2).

הוכחה. פירוק לפי משתנים מציינים נותן EZ=E{Z𝟏Z<θEZ}+E{Z𝟏ZθEZ}. המחובר הראשון אינו עולה על θE(Z). השני הוא לכל היותר {EZ2}1/2{E𝟏ZθEZ}1/2=(EZ2)1/2(Pr{ZθE(Z)})1/2 לפי אי-שוויון קושי-שוורץ.

אי-שוויונות קרובים

הגרסה החד-צדדית של אי-שוויון צ'בישב נותנת חסם טוב יותר: Pr{ZθE(Z)}(1θ)2(E(Z))2(1θ)2(E(Z))2+VarZ. זהו חסם הדוק, המתקבל למשל כאשר  ϵ0 במשתנה המקרי המקבל את הערך  θ+d בסיכוי  (1θ)/d ואת הערך  θϵ בסיכוי המשלים.

מקורות

  • R.E.A.C.Paley and A.Zygmund, A note on analytic functions in the unit circle, Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266–272
  • Y Katznelson, Harmonic Analysis, Third Edition, 2002, 280.
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אי-שוויון פלי-זיגמונד30762526Q2718608