אי-שוויון פלי-זיגמונד

במתמטיקה, אי-שוויון פלי-זיגמונד מספק חסם על ההסתברות שמשתנה מקרי אי-שלילי הוא קטן ביחס לתוחלת ולשונות שלו. הוכחה ראשונה לאי-השוויון הזה ניתנה על ידי אנתוני זיגמונד וריימונד פלי ב-1932.

משפט: יהי Z ≥ 0 משתנה מקרי בעל שונות סופית, ויהי $0<\theta <1$ קבוע. אז $\mathrm{Pr}\{Z\ge \theta \mathrm{E}(Z)\}\ge (1-\theta {)}^2\frac{(\mathrm{E}(Z){)}^2}{\mathrm{E}(Z^2)}$.

הוכחה. פירוק לפי משתנים מציינים נותן $\mathrm{E}Z=\mathrm{E}\{Z{\mathbf{𝟏}}_{Z<\theta \mathrm{E}Z}\}+\mathrm{E}\{Z{\mathbf{𝟏}}_{Z\ge \theta \mathrm{E}Z}\}$. המחובר הראשון אינו עולה על $\theta \mathrm{E}(Z)$. השני הוא לכל היותר $\{\mathrm{E}{Z}^2{\}}^{1/2}\{\mathrm{E}{\mathbf{𝟏}}_{Z\ge \theta \mathrm{E}Z}{\}}^{1/2}=(\mathrm{E}{Z}^2{)}^{1/2}(\mathrm{Pr}\{Z\ge \theta \mathrm{E}(Z)\}{)}^{1/2}$ לפי אי-שוויון קושי-שוורץ.

אי-שוויונות קרובים

הגרסה החד-צדדית של אי-שוויון צ'בישב נותנת חסם טוב יותר: $\mathrm{Pr}\{Z\ge \theta \mathrm{E}(Z)\}\ge \frac{(1-\theta {)}^2(\mathrm{E}(Z){)}^2}{(1-\theta {)}^2(\mathrm{E}(Z){)}^2+\mathrm{Var}Z}$. זהו חסם הדוק, המתקבל למשל כאשר $ϵ\to 0$ במשתנה המקרי המקבל את הערך $\theta +d$ בסיכוי $(1-\theta )/d$ ואת הערך $\theta -ϵ$ בסיכוי המשלים.

מקורות

• R.E.A.C.Paley and A.Zygmund, A note on analytic functions in the unit circle, Proc. Camb. Phil. Soc. 28, 1932, 266–272
• Y Katznelson, Harmonic Analysis, Third Edition, 2002, 280.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אי-שוויון פלי-זיגמונד30762526Q2718608