אי-שוויון התמורות

אי-שוויון התמורות הוא אי-שוויון שימושי המאפשר למצוא תמורות שנותנות ערך מקסימלי.

האי-שוויון קובע כי: אם נתונות שתי N-יות סדורות בעלות n איברים, a ו-b, כך שאיברי a מסודרים מהקטן לגדול (נסמן אותם ב- $a_{1}, a_{2} . . ., a_{n}$ ) ו-b בסדר מסוים (ומסומנים גם הם $b_{1}, b_{2}, . . ., b_{n}$ ), אז הביטוי $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + . . . + a_{n} b_{n}$ מקבל ערך מקסימלי כאשר גם איברי b מסודרים מהקטן לגדול. ערך מינימלי מתקבל כאשר הם מסודרים מהגדול לקטן.

הוכחה

טענת עזר: אם $a_{1} < a_{2}$ ו- $b_{1} < b_{2}$ , אז $a_{1} b_{2} + a_{2} b_{1} < a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2}$ . הוכחה: ביטוי שקול הוא

0 < a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} - a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}

או

0 < (a_{1} - a_{2}) (b_{1} - b_{2})

. כיוון שהביטויים בסוגריים הם שליליים, המכפלה שלהם חיובית.

הוכחת האי-שוויון: ניקח תמורה כלשהי על b ונחשב את הביטוי. נשים לב שאם קיימים שני מספרים i>j כך ש- $b_{i} < b_{j}$ , אז נוכל להחליף ביניהם ולהגדיל את ערך הביטוי (על פי טענת העזר). נמשיך בתהליך עד שנגיע למצב שאיברי b מסודרים לפי הסדר. כיוון שבכל שלב הגדלנו את ערך הביטוי, הרי שבסיכומו של דבר הגדלנו אותו ולכן בתמורה שבה איברי b מסודרים לפי הסדר הערך גדול יותר מאשר זאת שבחרנו. כיוון שהסבר זה לא תלוי מאיזה תמורה התחלנו, הוא נכון לכל תמורה, ולכן התמורה בה איברי b מסודרים לפי הסדר היא זאת שנותנת את הערך המקסימלי.

ההוכחה שכאשר איברי b מסודרים מהגדול לקטן מתקבל ערך מינימלי אנלוגית לחלוטין.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אי-שוויון התמורות21276676Q1149189

אי-שוויון התמורות

הוכחה

תפריט ניווט

חיפוש