אי-שוויון ברנולי

המחשה גרפית של אי-שוויון ברנולי, עבור n=3

אי-שוויון ברנולי הוא האי-שוויון $(1+x{)}^n\ge 1+nx$לכל מספר שלם $n\ge 0$ ולכל מספר ממשי $x>-1$. אי-שוויון ברנולי הוא יסודי ושימושי באנליזה מתמטית. בעזרתו אפשר להראות שהסדרה ${(1+\frac{1}{n})}^n$ עולה בזמן שהסדרה ${(1+\frac{1}{n})}^{n+1}$ יורדת, וכך להגדיר את בסיס הלוגריתם הטבעי, $e=2.718...$, כגבולן המשותף.

תחולה

אי השוויון נכון לכל $n$ ממשי, ובלבד ש-$n\ge 1$ (את ההכללה אפשר להוכיח על ידי השוואת הנגזרות של שני האגפים). כאשר n טבעי זוגי, אי השוויון נכון לכל $x$, וכאשר n אי-זוגי, הוא נכון לכל $-2<x$ (ואף מעט משמאל לנקודה 2-).

הוכחה

עבור $x>0$ אפשר להוכיח במהירות על פי נוסחת הבינום של ניוטון:

$(1+x{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})1^{n-k}{x}^k\ge (\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})1^n{x}^0+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})1^{n-1}{x}^1=1+nx$.

את המקרה הכללי (היינו $x>-1$) ניתן להוכיח באינדוקציה:

עבור $n=1$ מתקיים: $(1+x{)}^1=1+x\ge 1+x$. נניח את נכונות אי-השוויון עבור $n=t$, ונוכיח את נכונותו עבור $n=t+1$ (t טבעי כלשהו). כלומר, נניח ש: $(1+x{)}^t\ge 1+tx$, ונוכיח ש-$(1+x{)}^{t+1}\ge 1+(t+1)\cdot x$. נשים לב ש-$x>-1$ ולכן: $(1+x)>0$. מכיוון שכפל של אי-שוויון בגורם חיובי לא משנה את כיוונו, מתקיים: $(1+x)\cdot (1+x{)}^t\ge (1+x)\cdot (1+tx)$, ומכאן: $(1+x{)}^{t+1}\ge 1+tx+x+t{x}^2$. הביטוי $t{x}^2$ חיובי (כי $x^2\ge 0$ וגם $t\ge 0$) ולכן מתקיים: $(1+x{)}^{t+1}\ge 1+tx+x+t{x}^2\ge 1+tx+x=1+(t+1)\cdot x$.

הכללה

לכל חזקה ממשית $r$ ניתן להכליל את האי-שוויון כך שעבור כל $r\notin (0,1)$ ולכל $x>-1$

$(1+x{)}^r\ge 1+rx$

ועבור כל $r\in [0,1]$

$(1+x{)}^r\le 1+rx$

כאמור, את ההכללה אפשר להוכיח בעזרת הנגזרת.

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא אי-שוויון ברנולי בוויקישיתוף

• אי-שוויון ברנולי, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

אי-שוויון ברנולי32797935Q728662