cis

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

בערך זה
נעשה שימוש
בסימנים מוסכמים
מתחום המתמטיקה.
להבהרת הסימנים
ראו סימון מתמטי.

cis הוא סימון מתמטי שהגדרתו  cis(x)=cos(x)+isin(x), כאשר  cosהוא הפונקציה הטריגונומטרית קוסינוס,  sinהוא הפונקציה הטריגונומטרית סינוס ו־ i הוא היחידה המדומה (1). בהתאם לנוסחת אוילר  cis(x)=eix.

את הסימון cis טבע בשנת 1866 המתמטיקאי האירי ויליאם רואן המילטון בספרו "Elements of Quaternions" שפורסם לאחר מותו.[1] הסימון משמש כקיצור נוח המפשט הצגה של ביטויים מסוימים, למשל בטרנספורמציית פורייה. דוגמה: נוח יותר לכתוב ולהבין את הביטוי cis(x2) מאשר לכתוב ולהבין את הביטוי eix2.

בספריות תוכנה מתמטית, כגון Math Kernel Library של אינטל, נכלל מימוש של פונקציה זו בשפות תכנות נפוצות.[2]

זהויות מתמטיות

נגזרת:

ddzcis(z)=icis(z)=ieiz

אינטגרל:

cis(z)dz=icis(z)=ieiz

תכונות נוספות:

הזהויות הבאות נובעות ישירות מנוסחת אוילר:

cis(x+y)=cis(x)cis(y)
cis(xy)=cis(x)cis(y)

זהויות אלה מתקיימות כאשר x ו-y הם מספרים מרוכבים. כאשר x ו-y הם מספרים ממשיים, מתקיים גם:

|cis(x)cis(y)||xy|.

מספרים מרוכבים

את המספר המרוכב z=x+iy ניתן להציג בהצגה קוטבית כ-  z=r(cisθ), כאשר  r=x2+y2 הוא המרחק של הנקודה z מראשית הצירים, והזווית  θ, שבין הישר המחבר את הנקודה z לראשית הצירים ובין ציר ה-x, ניתנת בנוסחה  θ=arctan(yx).

פעולות כפל וחילוק של מספרים מרוכבים נעשות פשוטות יותר בהצגה פולרית. בהתבסס על הזהויות הטריגונומטריות

cos(a+b)=cos(a)cos(b)sin(a)sin(b)
sin(a+b)=cos(a)sin(b)+sin(a)cos(b)

כאשר נתונים המספרים המרוכבים z1=r1cisφ1, z2=r2cisφ2 מתקיים

z1z2=r1r2cis(φ1+φ2)
z1z2=r1r2cis(φ1φ2)

ראו גם

קישורים חיצוניים

  • Cis, באתר MathWorld (באנגלית)

הערות שוליים

  1. ,William Rowan Hamilton Elements of Quaternions, Longmans, Green & Co., 1866, p. 251
  2. v?CIS, Developer Reference for Intel® Math Kernel Library - C
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

Cis31731667