תנאי הלדר

תנאי הלדר (Hölder condition) הוא תנאי על פונקציות רציפות, המאפיין את מידת הרציפות שלהן. תנאי זה מרחיב את תנאי ליפשיץ. קרוי על-שם המתמטיקאי הגרמני אוטו הלדר.

הגדרה

פונקציה $f : U \to ℝ$ עבור תחום פתוח $U \subset ℝ$ מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים $K > 0, α \geq 0$ , אם לכל $x, y \in U$ מתקיים $| f (x) - f (y) | \leq K \cdot | x - y |^{α}$ .

באופן כללי יותר, עבור זוג מרחבים מטריים $(X, d_{X}), (Y, d_{Y})$ , פונקציה $f : X \to Y$ מקיימת את תנאי הלדר ביחס לזוג קבועים $K > 0, α \geq 0$ , אם לכל $x, y \in X$ מתקיים $d_{Y} (f (x), f (y)) \leq K \cdot d_{X} {(x, y)}^{α}$ .

תכונות

אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע $α > 0$ , אז היא רציפה באותו תחום.
אם פונקציה מקיימת את תנאי הלדר ביחס לקבוע $α = 0$ , משמע היא חסומה.
מהקמירות של הפונקציה $t^{α}$ , עבור כל $α > 1$ , נובע שאם פונקציה ממרחב נורמי כלשהו מקיימת את תנאי הלדר עבור $α > 1$ היא בהכרח קבועה. הטענה אינה נכונה כאשר $X$ מרחב מטרי כלשהו.
תנאי הלדר עם קבוע $α = 1$ נקרא תנאי ליפשיץ.

אנליזה פונקציונלית

אוסף הפונקציות המקיימות את תנאי הלדר עבור מעריך מסוים $α$ מעל קבוצה פתוחה $Ω$ במרחב האוקלידי מהווה מרחב וקטורי ומסומן $C^{0, α} (Ω)$ . אוסף הפונקציות שהנגזרת ה-n-ית שלהן מקיימות את תנאי ליפשיץ באותו התחום מסומן: $C^{n, α} (Ω)$ , וגם הוא מרחב וקטורי.

על המרחבים האלו מוגדרת סמי-נורמה טבעית (כאשר ב- $C^{n, α} (Ω)$ ההגדרה יותר מורכבת וכוללת גם את הנגזרות):

‖ f ‖_{C^{0, α}} = \sup_{x, y \in Ω} \frac{| f (x) - f (y) |}{| x - y |^{α}}

קישורים חיצוניים

תנאי הלדר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

תנאי הלדר39532522Q91259930