תיאום עכבות (אקוסטיקה)

באקוסטיקה, להליך ההנדסי של תיאום עכבות (באנגלית: Impedance matching) אקוסטיות בממשקים בין תווכים יש תפקיד מפתח. כאשר גל קול פוגע בממשק שבין תווך אחד למשנהו, חלקו יוחזר מן הממשק וחלקו יועבר לתווך השני, כשהמשרעת המועברת תלויה במידה בה העכבות האקוסטיות של שני התווכים קרובות אחת לשנייה. אם העכבות האקוסטיות מאוד שונות מרבית האנרגיה של הקול תוחזר במקום לעבור לתווך השני, בעוד שאם מתקיים שוויון בין העכבות, הגל יועבר במלואו כאילו הממשק איננו היה קיים.

תאוריה

עכבה אקוסטית

העכבה האקוסטית הסגולית האופיינית של תווך כלשהו מוגדרת כיחס בין עוצמת גל הלחץ הפועל בנקודה מסוימת לבין המהירות שבה נעה שכבת התווך כתוצאה מפעולתו. כדי לקבל את היחס הזה אפשר להשתמש בעקרון המקומיות: אם שכבה מסוימת של התווך נעה במהירות קבועה u במשך זמן קצרצר T אז נפח התווך המושפע מגל הלחץ הוא $V=(c_{s}\cdot T)A$ כאשר $c_{s}$ היא מהירות הקול באותו תווך ו-A שטח החתך של השכבה. כתוצאה מתנועת השכבה, הנפח הזה נדחס בשיעור $dV=(u\cdot T)A$, ולכן לפי חוק המאמץ-מעוות נובע שהלחץ הנגרם כתוצאה מתנועת השכבה הוא:

$P=B\cdot {\frac {dV}{V}}=B\cdot {\frac {u}{c_{s}}}$,

כאשר B הוא מודול הדחיסה. העכבה האקוסטית של התווך היא לפיכך: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z = \frac {{P}}{{u}} = \frac {{B}}{{c_s}} = \sqrt{{\rho\cdot B}} } , כאשר המעבר האחרון נובע מכך שמהירות הקול בתווך כללי היא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c_s = \sqrt{{\frac{{B}}{{\rho}}}}} . עבור מוצקים B הוא בדרך כלל מודול יאנג של החומר ועבור גזים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle B = \gamma\cdot P_0} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \gamma} הוא יחס קיבולי החום.

ההספק האקוסטי המושקע במתן מהירות u לשכבה של התווך הוא: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle W = F\cdot u = AP\cdot u = AP^2/Z = AZu^2} , כפול משטף האנרגיה הקינטית הנלווה לגל קול: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1/2Ac_s\rho u^2 = 1/2A\sqrt{{B\rho}}u^2} .

מקדמי העברה והחזרה

גל פוגע בניצב לממשק

כעת נניח גל לחץ מישורי המתקדם בתווך A לעבר תווך B בניצב לממשק ביניהם, כשביניהם מפרידה ממברנה דקה וחסרת מסה בעלת תכונות אקוסטיות זהות לאלו של תווך A. נגזור את מקדמי ההעברה וההחזרה T ו-R של הגל מעקרונות ראשוניים.

הקו האדום מייצג את ההעתק (u(x,t של פרודות אוויר בצינור עוגב חצי-סגור עבור התדירות היסודית. הקצה הפתוח מתפקד כקצה חופשי שערך הלחץ בו נשמר קבוע (על לחץ אטמוספירי); בקצה הסגור, לעומת זאת, הלחץ הוא פעמיים לחץ הגל הפוגע וההעתק הוא אפס.

ההנחות בפיתוח יהיו:

• רציפות הלחץ - כיוון שהממברנה חסרת מסה הכרחי להניח ששקול הכוחות הפועלים עליה הוא 0 ולכן הלחץ משני צדדיה שווה.
• רציפות ההעתק - מהירות הסחיפה של המולקולות של תווך A שווה למהירות תנועתה של הממברנה בכל רגע נתון, וכדומה לגבי תווך B.

הלחץ בסמוך לממברנה מהצד של תווך A (ששווה ללחץ מצידה השני) בכל רגע נתון הוא סכום הלחצים של הגל המוחזר והגל הפוגע, שכן הגל השקול בתווך A הוא סופרפוזיציה של הגל הפוגע והמוחזר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{T} = P_1 = P_{I} + P_{R} \implies 1 + R = T } .

כדי לקבל את הקשרים הנוספים יש להבחין בין גל הלחץ לבין גל ההעתק המקושרים אל גל קול. בעוד שגל הלחץ מוחזר מממשק עם אותו מופע, גל ההעתק מוחזר עם מופע הפוך; הדבר תואם את האינטואיציה הבסיסית שפרודות תווך A בעצם מתנגשות אלסטית בממשק. לפיכך, המשוואה השנייה מתקבלת מכך שעוצמת הלחץ המועבר לתווך B היא בעצם (לפי הגדרת העכבה האקוסטית) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_{T} = u\cdot Z_2 } , בעוד שעוצמת הלחץ המוחזר מקיימת $P_{R}=(v-u)\cdot Z_{1}$, כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v = \frac {{P_{I}}}{{Z_1}} } היא המהירות של שכבת התווך אשר הייתה מתקבלת אלמלא הממשק היה קיים. את עוצמת הלחץ המוחזר מקבלים על סמך הנחת רציפות גל ההעתק המקושר לגל הלחץ: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v- \frac {{\partial \delta_{R}}}{{\partial t}} = u } . מקשרים אלו מקבלים את מערכת המשוואות הליניאריות:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 + R = T }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R = 1 - \frac {{uZ_1}}{{P_I}} }

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = \frac {{uZ_2}}{{P_I}} }

פתרון המערכת נותן את מקדמי ההעברה וההחזרה של גל הלחץ:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle R = \frac {{Z_2 - Z_1}}{{Z_2 + Z_1}}, T = \frac {{2Z_2}}{{Z_2 + Z_1}} } .

מבחינת שימור האנרגיה, זרם האנרגיה האקוסטית של גל הלחץ לפני הפגיעה בממשק שווה לסכום זרמי האנרגיה של הגל המוחזר והמועבר:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{{P^2_I}}{{Z_1}} = \frac{{P^2_R}}{{Z_1}} + \frac{{P^2_T}}{{Z_2}} \iff \frac{{1}}{{Z_1}} = \frac{{R^2}}{{Z_1}} + \frac{{T^2}}{{Z_2}} }

כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_2 = Z_1 } מקדם ההעברה הוא 1, בהתאמה עם כך שתווך B מתנהג כ"המשך אקוסטי" של A. כאשר $Z_{2}>>Z_{1}$ מקדם ההעברה המתקבל הוא 0 משום שהתווך B צפוף אקוסטית בהרבה מ-A כך שהממשק מתנהג כקצה סגור (במה שמכונה "החזרה קשיחה") שמחזיר את גל הקול במלואו כהד. כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle Z_2 = 0 } מקדם ההחזרה המתקבל הוא שלילי (הוא 1-) משום שהגל מוחזר בהיפוך מופע מן הממשק. תרחיש כזה מכונה "החזרה רכה", וניתן לראות בממשק כזה קצה חופשי שהלחץ בו עומד על ערך קבוע, בדומה למצב בעמודי אוויר שבצינורות עוגב.

גל פוגע בזווית חדה

תמונת השבירה של גל קול פוגע.

במקרה שבו גל קול פוגע בממשק בזווית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_i } (שונה מ-0), עקרונות הפיתוח יהיו אותם עקרונות אך יש לקחת בחשבון את השבירה של גל הקול כשהוא מתקדם מתווך אחד לשני. כמו במקרה הקודם צריך להתקיים משיקולי סופרפוזיציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1 + R = T } , אלא שבאשר להנחת רציפות ההעתק יש להתייחס להעתק בניצב לממשק (רציפות המהירות הנורמלית). כיוון שזווית ההחזרה שווה לזווית הפגיעה, המהירויות הנורמליות של הגל הפוגע והגל המוחזר הן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_I = \frac{{P_I\cdot cos\theta_i}}{{Z_1}}, v_R = \frac{{P_R\cdot cos\theta_i}}{{Z_1}} } ,

וההפרש ביניהן צריך לקיים:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle v_I - v_R = v_T = \frac{{P_T\cdot cos\theta_t}}{{Z_2}} } ,

כאשר הזווית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \theta_t } מקיימת את חוק סנל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac {{sin(\theta_t)}}{{c_2}} = \frac {{sin(\theta_i)}}{{c_1}} \implies sin(\theta_t) = \frac{{Z_1\rho_2}}{{Z_2\rho_1}}sin(\theta_i) } .

פתרון המשוואות הליניאריות מאפשר לקבל את מקדם ההחזרה:

$R={\frac {Z_{2}cos\theta _{i}-Z_{1}cos\theta _{t}}{Z_{2}cos\theta _{i}+Z_{1}cos\theta _{t}}}$

וההעברה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T = \frac{{2Z_2cos\theta_i}}{{Z_2cos\theta_i + Z_1cos\theta_t}} } .

תיאום עכבות בטכנולוגיה ובטבע

לקונספט של תיאום עכבות אקוסטיות יש חשיבות במגוון יישומים טכנולוגיים:

מקור קול איזוטרופי ב"חדר שקט".

• לתיאום עכבות חשיבות קריטית ביישומים שונים של בידוד אקוסטי כגון "חדרים שקטים" או צמצום רעשי מנוע בכלי רכב.
• התאוריה מאחורי טכניקת החמקנות של ציפוי בולע קרינת מכ"ם היא האנלוג האלקטרומגנטי לתאוריה האקוסטית שמאחורי ציפוי בולע קול; השכבה החיצונית של הציפוי מתוכננת כך שתהיה בעלת עכבה אלקטרומגנטית כמעט זהה לשל האוויר. המרת האנרגיה האלקטרומגנטית לחום נגרמת מניחות של האות האלקטרומגנטי בתוך הציפוי בטווח תדרים רחב.
• באקוסטיקה תת-מימית יש חשיבות רבה להחזרה של גלי קול מפני הים, הנובעת מפערי העכבות הקיצוניים בין המים לאוויר.
• עצמות האוזן התיכונה מספקות תיאום עכבות בין עור התוף (אשר שינויי הלחץ של האוויר פועלים עליו) והאוזן הפנימית המלאה בנוזלים.

ראו גם

• עכבה חשמלית
• חוקי פרנל

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

25741427תיאום עכבות (אקוסטיקה)