שלשה פיתגורית

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

שלשה פיתגורית (או שלשה פיתגוראית) היא שלשה של מספרים טבעיים המקיימת את השוויון $a^{2}+b^{2}=c^{2}$, המופיע במשפט פיתגורס. בהתאם למשפט ההפוך למשפט פיתגורס, משולש שצלעותיו מהוות שלשה פיתגורית הוא משולש ישר-זווית. השלשה הפיתגורית הקטנה ביותר, 3, 4, 5, הייתה ידועה משחר ההיסטוריה, ומשערים שהמשולש ישר הזווית שמתקבל ממנה שימש להעברת אמות מים עוד במצרים הקדומה.

כל שלשה פיתגורית אפשר להכפיל בגורם קבוע שלם, ולקבל שלשה פיתגורית חדשה (אם $a,b,c$ היא שלשה פיתגורית, אז הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2 + b^2 = c^2} ולכן גם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (ak)^2 + (bk)^2 = (ck)^2} , כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ak, bk, ck} גם היא שלשה פיתגורית). שלשה פיתגורית שלא ניתן לקבל כמכפלה של שלשה פיתגורית אחרת בקבוע שלם גדול מ-1 נקראת שלשה פרימיטיבית: אלו הן השלשות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a, b, c} שבהן המחלק המשותף המקסימלי הוא 1; בשלשה כזו, המחלק המשותף המקסימלי של כל שני מספרים הוא 1.

להלן רשימת 16 השלשות הפרימיטיביות שבהן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c \le 100} :

(3, 4, 5)	(5, 12, 13)	(7, 24, 25)	(8, 15, 17)
(9, 40, 41)	(11, 60, 61)	(12, 35, 37)	(13, 84, 85)
(16, 63, 65)	(20, 21, 29)	(28, 45, 53)	(33, 56, 65)
(36, 77, 85)	(39, 80, 89)	(48, 55, 73)	(65, 72, 97)

פרמטריזציה של התבנית הריבועית

אפשר לייצר אינסוף שלשות פיתגוריות באמצעות הנוסחה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = 2st, b = s^2 - t^2, c = s^2 + t^2} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s, t} מספרים טבעיים. ההוכחה שאלו אכן שלשות פיתגוריות היא על ידי חישוב ישיר: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2st)^2 + (s^2 - t^2)^2 = s^4 + 2s^2t^2 + t^4 = (s^2 + t^2)^2} . משערים שנוסחה זו הייתה ידועה כבר לבבלים, שיצרו לוח בכתב יתדות (לוח פלימפטון 322) המתוארך לתקופה שבין שנת 1900 לפנה"ס לשנת 1600 לפנה"ס וכולל חמש-עשרה שלשות פיתגוריות, ובהן הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1771^2 + 2700^2 = 3229^2} (אותה אפשר לקבל אם נבחר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = 50, t = 27} ).

בפרט, אם נציב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle s = t + 1} נקבל את השלשות הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a = 2t(t + 1) = \frac{ b^2 - 1 }{ 2 }, b = 2t + 1, c = 2t^2 + 2t + 1 = \frac{ b^2 + 1}{ 2 } } . לכן כל מספר אי-זוגי (למעט המספר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 1} ) הוא חלק משלשה פיתגורית פרימיטיבית, ומכאן שיש אינסוף שלשות פיתגוריות פרימיטיביות.

משפט: כל שלשה פיתגורית פרימיטיבית אפשר להציג באמצעות הנוסחה שבראש הסעיף, כאשר s, t זרים ואחד מהם זוגי.

הוכחה: נבחין שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a, b, c} שלשה פרימיטיבית, אז $c$ מוכרח להיות אי-זוגי, וכן גם אחד (בדיוק) מבין המספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a, b} (זאת משום שריבוע משאיר תמיד שארית 0 או 1 בחלוקה ל-4). נניח שלמספר הזוגי בשלשה קוראים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a} . מן השוויון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2 + b^2 = c^2} נובע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2 = c^2 - b^2 = (c - b)(c + b)} , כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c - b} ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c + b} שניהם זוגיים. מכיוון ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b, c} זרים, המחלק המשותף המקסימלי של $c-b$ ו-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c + b} הוא בדיוק 2, ומכיוון שמכפלתם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2} היא ריבוע, יוצא שכל אחד מן הגורמים הוא פעמיים ריבוע. אם נכתוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c + b = 2s^2} ו- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c - b = 2t^2} נקבל את ההצגה הדרושה. כעת s, t זרים משום שכל מחלק משותף שלהם מחלק גם את a, b, c, ואחד מהם זוגי משום שאחרת b ,a ו-c כולם זוגיים.

מכאן אפשר לקבל נוסחה כללית לכל השלשות הפיתגוריות: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2stk, (s^2 - t^2)k, (s^2 + t^2)k)} , כאשר s, t זרים ואחד מהם זוגי; כל שלשה מוצגת כך באופן יחיד (משום ש-k הוא המחלק המשותף המקסימלי של שלושת המספרים). זוהי דוגמה לפתרון של משוואה המתקבלת מתבנית ריבועית עם נקודה רציונלית. יש שלשות, כגון הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (9, 12, 15)} , שלא ניתן להציג עם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k = 1} (במקרה זה, משום ש-15 אינו סכום של שני ריבועים).

על ידי בחינת הערכים האפשריים של s ו-t מודולו מספר קבוע n, אפשר להסיק אילו שאריות יכולה לקבל שלשה פרימיטיבית בחלוקה ל-n. לדוגמה, אחד מבין המספרים a ו-b מתחלק ב-4, ואילו השני אי-זוגי; גם c אי-זוגי; בפרט, מספר הנותן שארית 2 בחלוקה ל-4 אינו יכול להופיע בשלשה פיתגורית פרימיטיבית. בדומה לזה, בדיוק אחד משני המספרים a ו-b מתחלק ב-3, ובדיוק אחד מבין השלושה מתחלק ב-5.

מכיוון ש-c הוא סכום של שני ריבועים (זרים זה לזה), כל גורם ראשוני של c הוא מהצורה $4n+1$.

כל מספר טבעי שאינו נותן שארית 2 בחלוקה ל-4 יכול להופיע בתפקיד a בשלשה פרימיטיבית. מספר השלשות הפרימיטיביות (עם b > 0) שבהן a מופיע שווה ל-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2^{ s - 1 }} , כאשר s הוא מספר הגורמים הראשוניים השונים של a.

העץ הטרנרי של השלשות הפיתגוריות

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \, a,b,c} שלשה פיתגורית, אז המספרים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m = c-b, n = c-a, q = a+b-c} מקיימים את היחס הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q^2 = 2mn} ; ולהפך, אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (m,n,q)} מקיימים את היחס הזה, אפשר לבנות מהם שלשה פיתגורית באמצעות הטרנספורמציה ההפוכה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a = q+m,\ b=q+n,\ c=q+m+n} . במילים אחרות, אם מגדירים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ T(a,b,c)=(c-b,c-a,a+b-c)} , אז T מעבירה את היריעה $\ \{(a,b,c):a^{2}+b^{2}=c^{2}\}$ ליריעה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \{(m,n,q): q^2=2mn\}} . היתרון הוא, כמובן, שאת המשוואה השנייה קל יותר לפתור (במספרים שלמים). השלשה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (a,b,c)} פרימיטיבית אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ m,n} זרים.

משפט רוברטס

משפט: הווקטור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} } מהווה שלשה פרימיטיבית אם ורק אם הוא ניתן להצגה כ הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} \cdot M } , כאשר M היא מכפלה של מספר סופי של מטריצות מבין: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_1= \begin{pmatrix} 1 & 2 & 2 \\ -2 & -1 & -2 \\ 2 & 2 &3 \end{pmatrix} } , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle T_2= \begin{pmatrix} -1 & -2 & -2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 &3 \end{pmatrix} } , $T_{3}={\begin{pmatrix}1&2&2\\2&1&2\\2&2&3\end{pmatrix}}$.

יצוג השלשות כעץ טרנרי: בדרך זו, ניתן להציג את כל השלשות הפרימיטיביות בעץ טרנרי, עץ שבו לכל קודקוד יש בדיוק שלושה בנים. שורש העץ יהיה השלשה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{pmatrix} 3 & 4 & 5 \end{pmatrix} } . לכל שלשה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P= \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} } , יהיו שלושה בנים: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1=P \cdot T_1 \quad P_2=P \cdot T_2 \quad P_3=P \cdot T_3 \quad }

רעיון ההוכחה: לכל שלושה מספרים טבעיים המהווים שלשה פיתגורית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P= \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} } נגדיר את השלשות המסומנות המתקבלות ממנה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1= \begin{pmatrix} -a & b & c \end{pmatrix} } , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_2= \begin{pmatrix} a & -b & c \end{pmatrix} } , הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_3= \begin{pmatrix} -a & -b & c \end{pmatrix} } . נגדיר את ה'תאום' של שלשה המתאימה ל- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ (m,n,q)} השלשה המתקבלת מהחלפת הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ q} ב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ -q} . יהיו הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {P_1} \prime, {P_2}\prime , {P_3}\prime} תאומי-mnq של הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P_1 , P_2 , P_3} בהתאמה. מניתוח התהליך ניתן להסיק כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {P_1}\prime , {P_2}\prime , {P_3}\prime} הן שלשות פיתגוריות של מספרים טבעיים וכי לכל i=1,2,3 מתקיים : הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle {P_i}\prime=P \cdot T_i } כדי להוכיח את הכיוון ההפוך מוצאים לכל שלשה פיתגורית (לא מסומנת) הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P= \begin{pmatrix} a & b & c \end{pmatrix} } את התאום שלה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle P \prime= \begin{pmatrix} a \prime & b \prime & c \prime \end{pmatrix} } ומבצעים תהליך דומה.

שלשות פיתגוריות מיוחדות

• פייר דה פרמה מצא שלשה פיתגורית a,b,c כך ש a+b ו- c ניתנים להצגה כריבוע של מספר טבעי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=4565486027761 \quad b=1061652293520 \quad c=4687298610289 \quad a+b=2372159^2 \quad c=2165017^2}

לא ייתכנו שלשות פיתגוריות בהן a ו- b הם ריבועים של מספרים שלמים. פרמה הוכיח זאת בנסיגה אינסופית.

• קיימות שלשות פיתגוריות שונות עם אותו ערך של המכפלה ab. למשל, בשלשות 24,70,74, 40,42,58 ו-15,112,113 מתקיים ab=1680.

לא ידוע האם קיימות שלשות עבורן abc זהה.

• קיימות אינסוף שלשות פיתגוריות שבהן a ו-b הם מספרים עוקבים, כלומר b=a+1. ארבע השלשות הראשונות מסוג זה הן 3,4,5, 20,21,29, 119,120,169 ו-696,697,985. כיוון ש-c הוא סכום של שני ריבועים עוקבים, המשוואה המתאימה לכך היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a^2+(a+1)^2=c^2} , כלומר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2a^2+2a+1=c^2} . לאחר הכפלה ב-2 והעברת אגפים תתקבל המשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (2a+1)^2-2c^2=-1} . זוהי משוואת פל, שפתרונותיה ידועים (c שווה לאיבר ה-(2n+1) בסדרת פל). לאחר הוספת הביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2c^2} לשני האגפים ואז הוצאת שורש ריבועי, מתקבלת האפשרות לבודד את a ולהגיע למשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a=\frac{\sqrt{2c^2-1}-1}{2}} . מכאן ניתן לגלות את הנוסחאות הכלליות ל-b ,a ו-c בשלשות פיתגוריות שבהן a ו-b עוקבים:
  
  

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n=\frac{(1+\sqrt2)^{2n+1}+(1-\sqrt2)^{2n+1}-2}{4},\ \ b_n=\frac{(1+\sqrt2)^{2n+1}+(1-\sqrt2)^{2n+1}+2}{4},\ \ c_n=\frac{(1+\sqrt2)^{2n+1}-(1- \sqrt2)^{2n+1}}{2\sqrt2}}

הכללות

• הכללה מפורסמת של בעיה זו היא המשפט האחרון של פרמה הקובע שאין פתרון במספרים טבעיים למשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a^n+b^n=c^n} עבור חזקות הגדולות מ-2.
• משוואת לז'נדר, על שמו של המתמטיקאי אדריאן-מארי לז'נדר:

לאילו מספרים טבעיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u,v,w} יש פתרון במספרים טבעיים למשוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ ux^2+vy^2=wz^2} ? עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ u=v=w} הפתרונות הם כמובן שלשות פיתגוריות.

ראו גם

• בעיית השלשות הפיתגוריות הבוליאנית

קישורים חיצוניים

‏

• שלשה פיתגורית, באתר MathWorld (באנגלית)
• הסבר מפורט באנגלית על העץ הטרנרי
• גדי אלכסנדרוביץ', שלשות פיתגוריות, באתר "לא מדויק", 4 בנובמבר 2008
• מירי אדלר, ההוכחה המתמטית הארוכה ביותר, במדור "חדשות מדע" באתר של מכון דוידסון לחינוך מדעי, 8 ביוני 2016

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

34905353שלשה פיתגורית