שוויון פרסבל

שוויון פרסבל הוא זהות מתמטית אשר מקשרת בין מקדמי טור פורייה לבין הפונקציה היוצרת אותם. שוויון זה, אשר נכתב על ידי מארק אנטואן פרסבל, משמש ככלי חשוב באנליזה הרמונית. בהנדסה, בתחומי התקשורת ועיבוד האותות מייחסים לשוויון את הקשר בין שימור האנרגיה של האות במרחב התדר למרחב הזמן.

הגדרה מתמטית

כל פונקציה מחזורית בקטע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle [ -\pi , \pi ]} אשר מקיימת תנאים מסוימים (תנאי דיריכלה), ניתנת לייצוג כטור פונקציות אינסופי של "הפונקציות ההרמוניות" היסודיות באופן הבא:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(x) = \sum_{n \in \mathbb{Z}} c_n e^{i n x} = \sum_{n = - \infty}^{+\infty} c_n e^{i n x} }

הזהות מציגה את הקשר בין הנורמה של הפונקציה למקדמי טור פורייה שלה באופן הבא: סכום ריבועי הערכים המוחלטים של מקדמי טור פורייה של הפונקציה (בצד שמאל) שווה לאינטגרל (המנורמל) על הפונקציה היוצרת בערך מוחלט בריבוע (בצד ימין). בנוסחה:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \sum_{n=-\infty}^\infty |c_n|^2 = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi |f(x)|^2 \, dx}

כאשר c_n הוא מקדם טור פורייה (המרוכב) של הפונקציה ƒ ונתון על ידי

$c_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }f(x)\mathrm {e} ^{-inx}\,dx.$

זהות זו היא מקרה פרטי של שוויון פלנשרל וניתן להוכיחה באמצעות אורתוגונליות.

תנאים מספיקים לקיום השוויון, כלומר סוג של תנאי דיריכלה:

1) הנגזרת החד צדדית של הפונקציה, הימנית והשמאלית, קיימת בכל נקודה. בנוסף, קיימת נגזרת שמאלית בנקודת סוף המחזור ונגזרת ימנית בתחילת המחזור.

2) הפונקציה רציפה בכל נקודה.

3) ובנוסף ערך הפונקציה בתחילת המחזור שווה לערכה בסוף המחזור (כלומר רציפות על פני המחזורים).

הגדרה הנדסית

האנרגיה של האות במרחב הזמן נשמרת וזהה גם בהצגה של האות העובר התמרת פורייה למרחב התדר f. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E=\int_{-\infty}^{+\infty} |X(t)|^2~\mathrm dt =\int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{X}(f)|^2~\mathrm df.} כאשר בצד שמאל האות במרחב הזמן ובצד ימין האות עובר התמרת פורייה ובמרחב התדר.
בהצגה של האות במרחב התדר כתלות בתדירות הזוויתית ω להוסיף נרמול בפקטור של 2π. הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle E=\int_{-\infty}^{+\infty} |X(t)|^2~\mathrm dt = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} |\hat{X}(\omega)|^2~\mathrm d\omega.}

צורות כתיבה נוספות

1. שוויון פרסבל המוכלל: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{a_0^2}{2} + \sum_{n=1}^\infty \left( a_n^2 + b_n^2 \right) = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^\pi f(x)^2 dx} כאשר a_0, a_n ו b_n הם מקדמי טור פורייה של הפונקציה ƒ.
2. עבור מערכת אורתונורמלית שלמה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \left\{u_i\right\}_{i\in n}} במרחב הילברט הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ H} , אם $\ x\in H$ איבר כלשהו, אז ניתן להציג את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x, y} כך: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ x=\sum_{i\in n}\langle x,u_i\rangle u_i} . ומתקיימות שתי הזהויות הבאות:
3. שוויון פרסבל עם מכפלה פנימית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{i\in n}\left|\langle x,u_i\rangle\right|^2=\|x\|^2} .
4. שוויון פרסבל המוכלל עם מכפלה פנימית: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ \sum_{i\in n}\langle x,u_i\rangle\overline{\langle y,u_i\rangle}=\langle x,y\rangle} .

ראו גם

• טור פורייה
• התמרת פורייה הרציפה
• מכפלה פנימית
• מערכת אורתונורמלית שלמה

לקריאה נוספת

• סמי זעפרני, אלן פנקוס, טורי פוריה והתמרות אינטגרליות, 1997, הוצאת הטכניון.

קישורים חיצוניים

• שוויון פרסבל, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שוויון פרסבל36235056Q944238