שדה פונקציות

בגאומטריה ובאלגברה, כל שדה נוצר סופית מעל שדה בסיס k נקרא שדה פונקציות. כל שדה פונקציות הוא השדה שאיבריו הם הפונקציות הרציונליות המוגדרות על יריעה אלגברית אי-פריקה מסויימת. עבור יריעה אפינית אי-פריקה, אפשר לתאר את השדה כשדה שברים של חוג הפונקציות הפולינומיות של היריעה, שהוא תחום שלמות, ואותו אפשר להציג באמצעות יוצרים ויחסים.

• שדה נקרא רציונלי מעל שדה הבסיס k אם הוא מהצורה $k(x_1,\dots ,x_n)$, כלומר שדה השברים של חוג פולינומים. יריעה אלגברית נקראת רציונלית אם שדה הפונקציות שלה הוא רציונלי. בעיית נתר עבור פעולה של חבורה סופית G כחבורת תמורות של היוצרים של שדה רציונלי E, שואלת האם שדה הַשֶּבֶת הוא רציונלי. בפרט, נסמן להלן ב-$k(G)$ את שדה השבת של $k(\{x_g{\}}_{g\in G})$ תחת הפעולה הטבעית של G.
• שדה F הוא רציונלי ביציבות (stably rational) אם $F(t_1,\dots ,t_m)$ רציונלי לאיזשהו m. כל שדה רציונלי הוא רציונלי ביציבות, אבל ההפך אינו נכון.
• שדה F הוא נסג רציונלי (retract rational) אם L הוא שדה השברים של תחום שלמות A כך שקיים חוג $R=k[x_1,\dots ,x_n][1/f]$ עם שיכון של A ב-R והטלה של R על A, שהרכבתם היא הזהות על A. אם F רציונלי ביציבות, אז F הוא נסג רציונלי. ההפך אינו נכון מעל $k=\mathbb{\mathbb{Q}}$ (דוגמה נגדית: $\mathbb{\mathbb{Q}}({\mathbb{\mathbb{Z}}}_{47})$). דוגמה נגדית מעל $k=\mathbb{ℂ}$ אינה ידועה.
• שדה F הוא יונירציונלי (unirational) אם F הוא תת-שדה של שדה רציונלי. כל נסג רציונלי הוא יונירציונלי. ההפך אינו נכון (דוגמאות נגדיות: $\mathbb{\mathbb{Q}}({\mathbb{\mathbb{Z}}}_8)$ ו-$\mathbb{ℂ}(P)$ עבור חבורה P מסוימת מסדר p^9).

לקריאה נוספת

• Ming-chang Kang, Retract rational fields, 2012.

קישורים חיצוניים

• שדה פונקציות, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שדה פונקציות39032562Q4724000