שדה המחלקה של הילברט

שדה המחלקה של הילברט, עבור שדה מספרים נתון $K$, הוא ההרחבה הקטנה ביותר שבה כל האידיאלים בחוג השלמים של $K$ נעשים ראשיים. שדה המחלקה הוא הרחבת גלואה של $K$, וחבורת גלואה של ההרחבה איזומורפית לחבורת המחלקות של K.

הגדרה

יהי $K$ שדה מספרים (הרחבה מממד סופי של שדה המספרים הרציונליים $\mathbb{\mathbb{Q}}$). שדה המחלקה של הילברט $E=H(K)$ הוא הרחבת גלואה האבלית הלא-מסועפת המקסימלית של $K$.

תכונות

• ההרחבה $H(K)/K$ היא הרחבת גלואה מממד סופי של $K$ ומקיימת $[H(K):K]=|{\mathrm{C}\mathrm{l}}_K|=h_K$ כאשר ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_k$ היא חבורת מחלקות האידיאלים (class group) של $K$ (חבורה זו מורכבת ממחלקות השקילות של אידיאלים בחוג השלמים של $K$, עם יחס השקילות שאידיאלים $A$ ו-$B$ שקולים אם הם שווים עד כדי כפל באידיאלים ראשיים: $A\sim B⟺\mathrm{\exists }x,y\in {{𝒪}}_K:(x)A=(y)B$).
• חבורת מחלקות האידיאלים איזומורפית לחבורת גלואה של ההרחבה: $\mathrm{G}\mathrm{a}\mathrm{l}(H(K)/K)\cong {\mathrm{C}\mathrm{l}}_K$.
• כל אידיאל ב-${{𝒪}}_K$ הוא אידיאל ראשי ב-${{𝒪}}_{H(K)}$.
• כל אידיאל ראשוני $P$ ב-${{𝒪}}_K$ מתפרק למכפלה של $h_K/f$ אידיאלים ראשוניים ב-${{𝒪}}_{H(K)}$ כאשר $f$ הוא הסדר של $[P]$ בחבורת מחלקות האידיאלים ${\mathrm{C}\mathrm{l}}_K$.

מסקנה

מתכונות אלו ברור ש-${{𝒪}}_K$ הוא תחום ראשי אם ורק אם $H(K)=K$, כלומר: הוא שדה המחלקה של עצמו. במקרה זה חבורת גלואה של ההרחבה היא טריוויאלית, ואז גם חבורת מחלקות האידיאלים טריוויאלית: כלומר - כל האידיאלים בחוג השלמים הם ראשיים.

ערך זה הוא קצרמר בנושא מתמטיקה. אתם מוזמנים לתרום למכלול ולהרחיב אותו.

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

שדה המחלקה של הילברט28242759Q2916820