קיפול נייר לשניים

תרשים של נייר המקופל בכיוון אחד ארבע פעמים

האתגר של קיפול נייר לשניים מספר פעמים רב, מעל לשמונה קפלים זה על זה, נחשב זמן רב לבלתי אפשרי. בשנת 2001 הוכיחה והדגימה תלמידת תיכון בשם בריטני גאליוון (Britney Gallivan) (ילידת 1985) כי לא קיימת מגבלה תאורטית על קיפול נייר, ללא קשר לעוביו, בתנאי שמוכנים לכך שיהיו חלקים בנייר שלא יחפפו בדיוק לחלקים אחרים.

פתרון הבעיה

גאליוון פתרה את הבעיה בעקבות שאלת אתגר אשר ניתנה לה בשיעור מתמטיקה בתיכון - לקפל נייר 12 פעמים. גאליוון, בניסיון להבין את הגורם המקשה על הקיפול ניסחה את המשוואה המתמטית המתארת את התנאי המגביל קיפול נייר בעובי t, בכיוון אחד, n פעמים. היא הדגימה כי אורך הנייר המינימלי, L, הדרוש לשם הקיפול ניתן על ידי המשוואה: $L={\frac {\pi t}{6}}(2^{n}+4)(2^{n}-1)$.

גאליוון הוכיחה כי הגורם המקשה על הקיפול איננו עובי הנייר המקופל או הכוח הפיזי הנדרש לצורך ביצוע הקיפול, כפי שהיה נהוג לחשוב, אלא דווקא כמות הנייר הנדרש לצורך סיבוב הדף באזור המקופל. לאחר פתרון המשוואה היא אף הדגימה את הפתרון הלכה למעשה ובתחילת 2002 קיפלה גיליון נייר ארוך 12 פעמים.

גאליוון אף ניסחה את הגורם המגביל קיפול נייר בעובי t בכיוונים מנוגדים מספר פעמים השווה ל-n וגילתה שבקירוב רוחב הנייר המינימלי, W, הדרוש לשם כך הוא: $W=\pi t2^{{\frac {3}{2}}\left(n-1\right)}$.

סדרי גודל בקיפול מרובה

מכיוון ש-$\ 0.1\cdot 2^{42}$ מילימטרים הם יותר מ-400,000 קילומטרים, קיפול של דף נייר בעובי 0.1 מ"מ 42 פעמים ייצור ערימה שגובהה גדול מהמרחק בין כדור הארץ לירח. לפי הנוסחה של גאליוון, אורך הנייר הדרוש לסדרת קיפולים כזו הוא כ-$\ 10^{18}$ קילומטרים, שהם כ-10,000 פעמים המרחק לאלפא קנטאורי ובחזרה.

הנוסחה של גובה הנייר אחרי N קיפולים

N=מספר הקיפולים

T=עובי הדף

X=גובה הדף שיווצר

N^2•T=X

הגעה לגובה מסוים

כדי להגיע לגובה ספציפי בעזרת קיפולי נייר מסוג זה אפשר להיעזר בנוסחה הבאה, נשתמש באותם משתנים מהפסקה הקודמת (הX והT כמובן באותן יחידות מידה).

$N=log_{2}(X/T)$

דוגמאות

אם ניקח דף רגיל בעובי של 0.05 מ"מ ונקפל אותו 15 פעמים הוא יהיה בגובה מטר וחצי בערך.

אחרי 24 פעמים 800 מטר.

אחרי 43 פעמים נגיע לירח.

אחרי 52 פעמים נגיע לשמש ונוכל לחזור גם חצי דרך חזרה.

אחרי 84 פעמים הגובה יהיה יותר גדול מהקוטר של הגלקסיה שלנו.

ראו גם

• מתמטיקה של קיפולי נייר
• אוריגמי

לקריאה נוספת

• Britney C. Gallivan, How to fold paper in half twelve times (an "impossible challenge" solved and explained), Historical Society of Pomona Valley, Pomona California, 2002

קישורים חיצוניים

• האגודה ההיסטורית של פומונה
• אתר על המתמטיקה של קיפולי נייר
• ההוכחה במלואה
• סרטון של TED-ed (באנגלית) על הנושא