קוואזי-חבורה

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש
מבנים אלגבריים שונים. הוספת תכונה מתאימה מצמצת את המחלקה

באלגברה מופשטת, קוואזי-חבורהאנגלית: Quasigroup) (אנ') או כמו-חבורה[1] היא מבנה אלגברי בעל פעולה בינארית אחת, שבו פעולות הכפל באיבר מימין ומשמאל הן הפיכות. לוח הכפל של קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני, וכל ריבוע לטיני הוא לוח הכפל של קוואזי-חבורה. קוואזי-חבורה עם יחידה נקראת לולאה. כל קוואזי-חבורה אסוציאטיבית היא חבורה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה. אם לולאה איזוטופית לחבורה אז היא איזומורפית אליה.

הגדרה

קבוצה Q עם פעולה בינארית נקראת קוואזי-חבורה אם לכל a,bQ קיימים פתרונות יחידים למשוואות ax=b,ya=b. פתרונות אלו מסומנים כ-x=ab,y=b/a.

בכל קוואזי-חבורה מתקיימות אם כן הזהויות הבאות: x(xy)=x(xy)=y,(x/y)y=(xy)/y=x. מנגד, זהויות אלו מאפשרות להגדיר קוואזי-חבורה: קבוצה Q עם שלוש פעולות בינאריות (,/,) אשר איבריה מקיימים את הזהויות לעיל היא קוואזי-חבורה.

דרך נוספת להגדיר קוואזי-חבורה היא בעזרת ריבועים לטיניים: זהו ריבוע בגודל n×n בו מסודרים n איברים בשורות ובעמודות, כך שכל איבר מופיע פעם אחת בדיוק בכל שורה ועמודה. קל לראות שכל ריבוע כזה מהווה לוח כפל של קוואזי-חבורה, ושלוח הכפל של כל קוואזי-חבורה הוא ריבוע לטיני (כאשר משמיטים את עמודות האיברים המוכפלים).

קוואזי-חבורה עם איבר יחידה, היינו איבר eQ המקיים xe=ex=x, נקראת לולאה.

איזוטופיה

שתי קוואזי-חבורות Q,Q הן איזוטופיות זו לזו אם קיימות שלוש העתקות הפיכות α,β,γ:QQ כך ש-γ(ab)=α(a)β(b) (הכפל בקוואזי-חבורות Q ו-Q בהתאמה). ברמת הריבועים הלטיניים, איזוטופיה פירושה התמרת שורות ועמודות הריבוע. במקרה Q=Q, ההעתקות כלעיל נקראות אוטוטופיה; קבוצת האוטוטופיות של קוואזי-חבורה נתונה היא חבורה ביחס לפעולת ההרכבה.

כל קוואזי-חבורה איזוטופית ללולאה: מתקיים QQ(), כאשר Q() היא הלולאה הנבנית מבחירת שני איברים a,bQ והגדרת הפעולה על אותה הקבוצה Q, כך שמתקיים xy=xbay. האיזוטופיה נתונה אם כן על ידי (Rb,La,id).

מונח האיזוטופיה מאבד משמעות כאשר מדובר בחבורה - שתי חבורות איזוטופיות הן גם איזומורפיות, לפי משפט שהוכיח אלברט. ביתר כלליות, אם לולאה איזוטופית לחבורה, היא גם איזומורפית אליה.

דוגמאות

ראו גם

לקריאה נוספת

  • Bruck, R.H. (1971). A Survey of Binary Systems.

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

קוואזי-חבורה41399403Q1503423