קבוע הופכיי מספרי פיבונאצ'י

במתמטיקה, מספר פיבונאצ'י ההופכי, המסומן באות ψ, הוא הסכום של כל המספרים ההופכיים של מספרי פיבונאצ'י:

ψ = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{F_{k}} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{13} + \frac{1}{21} + \dots .

על פי תנאי ההתכנסות של קושי, הטור מתכנס למספר. המספר הוא בערך:

ψ = 3.359885666243177553172011302918927179688905133732 \dots .

ביל גוספר מצא אלגוריתם לקירוב מהיר של המספר אשר מספקת $O (k^{2})$ ספרות (משום שסדרת פיבונאצ'י מביא $O (k)$ ערכים עבור k ערכים). המספר הוא אי רציונלי. עובדה זו הושערה על ידי פאול ארדש ורונלד גראהם והוכחה בשנת 1989 על ידי ריצ'רד אנדרה-ג'ננין. השבר משולב של המספר הוא:

ψ = [3; 2, 1, 3, 1, 1, 13, 2, 3, 3, 2, 1, 1, 6, 3, 2, 4, 362, 2, 4, 8, 6, 30, 50, 1, 6, 3, 3, 2, 7, 2, 3, 1, 3, 2, \dots] .

למספר קשור ליחס הזהב וניתן להגדיר את מספר פיבונאצ'י ההופכי על פי הטור הבא:

ψ = \sqrt{5} \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{{(ϕ)}^{n} - {(- ϕ)}^{- n}}

כאשר $ϕ$ זה יחס הזהב.

קישורים חיצוניים

קבוע הופכיי מספרי פיבונאצ'י29824416Q3772671