פעולה פרימיטיבית

בתורת החבורות, פעולה פרימיטיבית היא פעולה על קבוצה שבה אף חלוקה לא טריוויאלית אינה נשמרת. פעולה שאינה פרימיטיבית אפשר לפרק לחלקים - הפעולה על רכיבי החלוקה, והפעולה בתוכם - ולכן פעולות פרימיטיביות נחשבות קשות יותר לטיפול. בפעולה שאינה פרימיטיבית, מרכיבי הפעולה נקראים בלוקים.

לדוגמה, פעולת החבורה על עצמה על ידי כפל משמאל אינה פרימיטיבית (אלא אם החבורה ציקלית מסדר ראשוני), משום שהפעולה שומרת על החלוקה של החבורה לקוסטים של תת-חבורה. הפעולה של חבורה $G$ על הקוסטים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G/H} היא פרימיטיבית אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle H} תת-חבורה מקסימלית.

מספר הפעולות הפרימיטיביות על קבוצות בגודל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n=2,3,4,...,20} הוא 1,2,2,5,4,7,7,11,9,8,6,9,4,6,22,10,4,8,4, בהתאמה. רוברט קרמייקל שמיין את הפעולות האלה ב-1937 מציין שמ-22 הפעולות הפרימיטיביות מדרגה 16, כולן פרט לפעולת החבורה הסימטרית וחבורת התמורות הזוגיות הן תת-חבורות של החבורה האפינית על המרחב ה-4-ממדי מעל השדה הסופי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{F}_2} .

כל פעולה 2-טרנזיטיבית היא פרימיטיבית, וכל פעולה פרימיטיבית היא טרנזיטיבית.

אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle G} חבורת תמורות פרימיטיבית מדרגה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} שאינה מכילה את הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle A_n} , Wielandt ו-Praeger-Saxl הוכיחו ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |G| \leq 4^n} . את החסם הזה אפשר לשפר: אם החבורה פרימיטיבית ואינה 2-טרנזיטיבית אז הסדר אינו עולה על הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{4 \sqrt{n} \log^2(n)}} , ועבור החבורות ה-2-טרנזיטיביות קיים קבוע הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle c} כך ש- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |G|\leq e^{c \log^3(n)}} (L. Pyber). לפי משפט Wielandt, תת-החבורה הפרימיטיבית היחידה של חבורת התמורות הסופיות $S_{\infty }$ היא תת-החבורה של התמורות הזוגיות.

מקורות

Roney-Dougal, Colva M. The primitive permutation groups of degree less than 2500, Journal of Algebra 292 (2005), no. 1, 154–183.
The GAP Data Library "Primitive Permutation Groups".
Carmichael, Robert D., Introduction to the Theory of Groups of Finite Order. Ginn, Boston, 1937. Reprinted by Dover Publications, New York, 1956.
Rowland, Todd; Primitive Group Action. MathWorld--A Wolfram Web Resource, created by Eric W. Weisstein.
Laszlo Babai, (Invent. math. 65, 473-484 (1982.