פנטציה

שלושת הערכים הראשונים של הביטוי x [5]2. הערך של 3[5]2 הוא בערך 7.626 × 10 ¹² ; ערכים עבור x גבוה יותר, כגון 4[5]2, שזה בערך 2.361 × 10 ^{8.072 × 10 153} גדולים מדי מכדי להופיע בגרף.

במתמטיקה, פנטציה (או היפר-5 ) היא ההיפר-פעולה הבאה אחרי הטטרציה ולפני ההקסציה. היא מוגדרת כטטרציה חוזרת, בדיוק כפי שטטרציה היא חזקה חוזרת זוהי פעולה בינארית המוגדרת עם שני מספרים a ו-b, כאשר עושים a בטטרציית עצמו b פעמים. לדוגמה, שימוש בסימון היפר-פעולות עבור פנטציה וטטרציה, $2[5]3$ פירושו 2 בטטרציית עצמו פעמיים, או $2[4](2[4]2)$ . לאחר מכן ניתן לצמצם זאת ל $2[4](2^2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65,536.$

אֶטִימוֹלוֹגִיָה

את המילה "פנטציה" טבע ראובן גודשטיין ב-1947 כהלחם מילים פנטה (חמש) ואיטרציה. זה חלק מתוכנית השמות הכללית שלו עבור היפר-פעולות.

סימון

אין הסכמה לגבי הסימון של פנטציה; ישנן דרכים רבות ושונות לכתוב את פעולת הפנטציה. עם זאת, חלקם נפוצים יותר מאחרים, ולחלקם יתרונות או חסרונות ברורים בהשוואה לאחרים.

• אפשר לכתוב פנטציה, כמו שכותבים היפר-פעולות פעולות אחרות, למשל: $a[5]b$ = a בטטרצית a כך שכמות הפעמים שיש a בתרגיל הזה שווה ל-b, והחמש בסוגריים המסולסלות מסמן שזה פנטציה.
• בסימון החץ למעלה, $a[5]b$ מיוצג כ $a\uparrow \uparrow \uparrow b$ אוֹ $a{\uparrow }^{3}b$ . בסימון זה, $a\uparrow b$ מייצג חזקה ו-$a\uparrow \uparrow b$ מייצג טטרציה. ניתן להתאים את הפעולה בקלות לחזקה וטטרציה על ידי שינוי כמות החצים.
• בסימון חץ משורשר, $a[5]b=a\to b\to 3$ .
• סימון מוצע נוסף הוא ${}_{b}a$, אם כי זה לא ניתבה לפעולות היפר-ניתוח גבוהות יותר.

דוגמאות

ניתן לקבל את ערכי פונקציית הפנטציה גם מהערכים בשורה הרביעית בטבלת הערכים של גרסה של פונקציית אקרמן: אם $A(n,m)$ מוגדר על ידי הישנות אקרמן $A(m-1,A(m,n-1))$ עם התנאים ההתחלתיים $A(1,n)=an$ ו $A(m,1)=a$, לאחר מכן $a[5]b=A(4,b)$ .

כמו טטרציה, פעולת הבסיס שלו, פנטציה לא הורחבה לגבהים שאינם שלמים, pentation $a[5]b$ מוגדר כרגע רק עבור ערכים שלמים של a ו- b שבהם a > 0 ו- b ≥ −2, ועוד כמה ערכי מספר שלמים שעשויים להיות מוגדרים באופן ייחודי. כמו בכל פעולות יתר מסדר 3 ( אקספונציה ) ומעלה, לפנטציה יש את המקרים הטריוויאליים (זהויות) הבאים שמתקיימים עבור כל הערכים של a ו- b בתחום שלו:

• $1[5]b=1$
• $a[5]1=a$
• $a[5]2=a[4]a$
• $a[5]0=1$
• $a[5](-1)=0$
• $a[5](-2)=-1$
• $a[5](b+1)=a[4](a[5]b)$

מלבד המקרים הטריוויאליים המוצגים לעיל, פנטציה מייצרת מספרים גדולים מאוד במהירות רבה, כך שיש רק מקרים בודדים שאינם טריוויאליים המייצרים מספרים שניתן לכתוב בסימון קונבנציונלי, כפי שמודגם להלן:

• $2[5]2=2[4]2=2^2=4$
• $2[5]3=2[4](2[5]2)=2[4](2[4]2)=2[4]4=2^{2^{2^2}}=2^{2^4}=2^{16}=65,536$
• $2[5]4=2[4](2[5]3)=2[4](2[4](2[4]2))=2[4](2[4]4)=2[4]65,536=2^{2^{2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^2}}}}}\text{ (a power tower of height 65,536) }\approx {\exp }_{10}^{65,533}(4.29508)$ (מוצג כאן בתווי אקספוננציאלי חוזר מכיוון שהוא גדול מדי מכדי להיכתב בסימון קונבנציונלי. הערה ${\exp }_{10}(n)=10^n$ )
• $2[5]5=2[4](2[5]4)=2[4](2[4](2[4](2[4]2)))=2[4](2[4](2[4]4))=2[4](2[4]65,536)=2^{2^{2^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^2}}}}}\text{ (a power tower of height 2[4]65,536) }\approx {\exp }_{10}^{2[4]65,536-3}(4.29508)$
• $3[5]2=3[4]3=3^{3^3}=3^{27}=7,625,597,484,987$
• $3[5]3=3[4](3[5]2)=3[4](3[4]3)=3[4]7,625,597,484,987=3^{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}\text{ (a power tower of height 7,625,597,484,987) }\approx {\exp }_{10}^{7,625,597,484,986}(1.09902)$
• $3[5]4=3[4](3[5]3)=3[4](3[4](3[4]3))=3[4](3[4]7,625,597,484,987)=3^{3^{3^{{\cdot }^{{\cdot }^{{\cdot }^3}}}}}\text{ (a power tower of height 3[4]7,625,597,484,987) }\approx {\exp }_{10}^{3[4]7,625,597,484,987-1}(1.09902)$
• $4[5]2=4[4]4=4^{4^{4^4}}=4^{4^{256}}\approx {\exp }_{10}^3(2.19)$ (מספר עם יותר מ-10 ¹⁵³ ספרות)
• $5[5]2=5[4]5=5^{5^{5^{5^5}}}=5^{5^{5^{3125}}}\approx {\exp }_{10}^4(3.33928)$ (מספר עם יותר מ-10 ^{10 2184} ספרות)

ראו גם

• פונקציית אקרמן
• מספרים גדולים
• המספר של גרהם

הערות שוליים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

פנטציה39408044Q2329893