פורטל:מתמטיקה/תמונה נבחרת/59

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

טור פורייה הוא כלי מתמטי המאפשר פירוק של פונקציות לרכיבים מחזוריים על ידי שימוש בפונקציות טריגונומטריות. בתמונה מופיע פירוק של גל מלבני בעל משרעת 4 וזמן מחזור של 1 לפונקציות סינוס על ידי הנוסחה $f(t)=2-{\frac {4}{\pi }}\sum _{n=1}^{k}{{\frac {(-1)^{n}-1}{n}}\sin(2\pi nt)}$.

הקו האדום מראה את הפונקציה המקורית, הירוק מראה את הפונקציה המתקבלת לאחר סכימת חמישה איברים והכחול לאחר סכימת חמישה עשר איברים. ככל שמסכמים איברים רבים יותר, כך מתקבלת פונקציה שערכיה קרובים יותר אל הפונקציה המקורית.

הטור מתכנס נקודתית בכל נקודות הרציפות של הגל. בנקודות האי-רציפות הוא מתכנס לממוצע בין הגבול מימין ומשמאל (בדוגמה זו ל-2). אולם הטור לא מתכנס במידה שווה. ניתן לראות כי כאשר מתקרבים לנקודת האי רציפות, יש פיק להפרש בין הסכומים החלקיים לבין הגבול. פיק זה הופך צר יתר אך גובהו חסום מלרע. תופעה זאת נקרת תופעת גיבס. לטור פורייה חשיבות רבה במתמטיקה תאורטית אבל גם שימוש נרחב בפיזיקה וישום מעשי כמו עיבוד אותות, תמונה וקול במדעי המחשב ושטחי הנדסה אחרים.

ניתן ללחוץ על התמונה על מנת לצפות בה מוגדלת.