פורטל:מתמטיקה/חידות קשות/9

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית

< פורטל:מתמטיקה

קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

האם קיימים 3 מספרים ראשוניים שונים $p, q, r$ ש:

$p^{2} + d$ מתחלק ב- $q r$ ,

$q^{2} + d$ מתחלק ב- $p r$

$r^{2} + d$ מתחלק ב- $p q$

כאשר:
א) d=10
ב) d = 11 ?

פתרון

א) תשובה:

נניח בשלילה שקיימים מספרים כאלו. נניח ללא הגבלת הכלליות $p < q < r$ . המספר האי-זוגי $q^{2} + 10$ מתחלק ב $p r$ , מכאן $p$ אי-זוגי (ומכיוון שהוא ראשוני זה שקול לכך שהוא לא 2). לכן $q \geq p + 2, r \geq p + 4$ כי הראשונים הקטנים ביותר ש-q,r יכולים להיות הם 5 ו-7. ואז נקבל $q r \geq (p + 2) (p + 4) = p^{2} + 6 p + 8 > p^{2} + 10$ ומכיוון שמספר לא יכול להתחלק במספר שגדול ממנו, $p^{2} + 10$ לא מתחלק ב- $q r$ .
ב) תשובה: קיימים: 2, 3, 5. זה גם המקרה היחיד, הרי בסעיף א' ראינו שהאי-קיום נבע מכך שאף-אחד מהראשוניים לא היה 2 ואז $q \geq p + 2, r \geq p + 4$ אזי קל להבין שזו היא השלשה האפשרית היחידה.
חידת בונוס: על איזה תנאים d צריך לענות בשביל שיהיו קיימים מספרים ראשוניים אלה?

פתרון

בינתיים לא נמצא פתרון מלא, אם כי נמצא ש-d>10, ש-d אינו יכול להיות כפולה של אף אחד מ-p,q או r, ושאם d<26 אז הוא אי-זוגי.

אוחזר מתוך "https://he.hamichlol.org.il/w/index.php?title=פורטל:מתמטיקה/חידות_קשות/9&oldid=92718"

קטגוריה:

פורטל:מתמטיקה - חידות

פורטל:מתמטיקה/חידות קשות/9

תפריט ניווט

חיפוש