פונקציה כוכבית

באנליזה מרוכבת, פונקציה כוכבית (אנגלית: Starlike function) היא פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד-חד-ערכית) בעיגול היחידה, אשר תמונתה היא תחום כוכבי ביחס לראשית הצירים. פונקציה הולומורפית קמורה (Convex function) (להבדיל מהמינוח פונקציה קמורה), היא פונקציה כנ"ל אשר תמונתה היא תחום קמור.

לפונקציות כוכביות וקמורות תכונות מעניינות בתורת פונקציות האוניוולנטיות. משפט אלכסנדר נותן תנאי הכרחי ומספיק להיות של פונקציה כוכבית.

הגדרה

תהי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f : \Omega \to \mathbb{C}} פונקציה אוניוולנטית (כלומר, פונקציה הולומורפית וחד-חד-ערכית). נאמר כי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f} היא

• פונקציה כוכבית (Starlike function) אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(\Omega)} תחום כוכבי סביב ראשית הצירים.
• פונקציה הולומורפית קמורה (Convex function) אם $f(\Omega )$ תחום קמור.

נתעניין בעיקר בפונקציות כנ"ל כאשר הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \Omega = D = \{ z : |z| < 1 \}} עיגול היחידה.

דוגמאות

• הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{z+i}{z-i}} היא העתקה קונפורמית המעבירה את עיגול היחידה לחצי המישור העליון, ולכן היא קמורה.
• פונקציית קוב הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle k(z) = \frac{z}{(1-z)^2}} היא כוכבית, שכן תמונתה היא הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \mathbb{C} - (- \infty, - \frac{1}{4})} וזהו תחום כוכבי.

תכונות

ראשית, נציג תנאים מספיקים והכרחיים להיותה של פונקציה אוניוולנטית $f$ קמורה או כוכבית.

משפט: הפונקציה האוניוולנטית הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f: \overline{D} \to f(\overline{D})} היא קמורה אם ורק אם מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall |z|=1: Re( 1+ \frac{z f''(z)}{f'(z)} ) \ge 0} .

משפט: אם בנוסף הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f(0)=0} , אז הפונקציה היא כוכבית אם ורק אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \forall |z|=1: Re( \frac{z f'(z)}{f(z)} ) \ge 0} .

כעת, נראה את הקשר שבין פונקציה קמורה לפונקציה כוכבית:

משפט אלכסנדר (J.W Alexander, 1915): נניח כי הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle f:D\to f(D)} אוניוולנטית. אזי היא הולומורפית קמורה אם ורק אם הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle zf'(z)} כוכבית.

דוגמה

נפעיל את המשפט על פונקציית קוב, שהראינו שהיא כוכבית – עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K(z)=\frac{z}{1-z}} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle zK'(z) = \frac{z}{(1-z)^2} = k(z)} , ולכן הפונקציה ${\frac {z}{1-z}}$ קמורה, ואכן, היא מעבירה את עיגול היחידה להזזה של חצי המישור העליון: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle K(D) = \{ w : Rew> -\frac{1}{2} \}} .

המחלקות ST ו-CV

את אוסף הפונקציות הכוכביות/קמורות המנורמלות על מעגל היחידה נסמן ב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle ST} וב-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CV} בהתאמה.

לפי משפט אלכסנדר, יש התאמה 1:1 בין שתי המחלקות:

• לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle f \in CV} מתקיים $zf'(z)\in ST$ .
• לכל הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle F \in ST} מתקיים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \int_{0}^{z} {\frac{F(w)}{w}dw} \in CV} .

השערת המקדמים

משפט דה ברנז' טוען כי המקדמים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle b_n} בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |b_n| \le n} .

כאשר עוד נחשב להשערה, שכונתה השערת המקדמים, הוא הוכח למקרים פרטיים רבים. ביניהם:

משפט (R. Nevanlinna, 1921): במחלקה $ST$ מתקיימת השערת המקדמים. יותר מכך – אם מתקיים שוויון עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_0 \ge 2} כלשהו, הפונקציה היא סיבוב של פונקציית קוב – הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle e^{i \alpha} k(e^ {- i \alpha} z)} .

במחלקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CV} מתקיימת טענה חזקה הרבה יותר:

משפט (C. Lowner, 1921): במחלקה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle CV} מתקיים הפענוח נכשל (שגיאת המרה. השרת ("https://wikimedia.org/api/rest_") השיב: "Cannot get mml. Server problem."): {\displaystyle \forall n:|b_{n}|\leq 1} . במידה ומתקיים שוויון עבור הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n_0 \ge 2} כלשהו, הפונקציה היא סיבוב של הפונקציה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \frac{z}{1-z}} .

למעשה, שני המשפטים שקולים – אפשר בקלות להוכיח את השני בעזרת הראשון (לפי ההתאמה לעיל). כדי להוכיח את הראשון בעזרת השני, יש להשתמש בהעתקות שוורץ-קריסטופל.

ראו גם

• קבוצה קמורה
• תחום כוכבי

לקריאה נוספת

• Goodman, A.W. (1983). Univalent functions. Univalent Functions. Vol. 1. Mariner Pub. Co.,pages 107-180
• CONVEX AND STARLIKE UNIVALENT FUNCTIONS, S. D. BERNARDI
• Star-like function, Encyclopedia of Mathematics