משפט הרבע של קוב

באנליזה מרוכבת, משפט הרבע של קוב (Koebe quarter theorem – על שם המתמטיקאי פאול קוב) קובע כי התמונה של מעגל היחידה תחת פונקציה אוניוולנטית $f$ מכילה כדור ברדיוס $\frac{|f^{\prime }(0)|}{4}$ .

פונקציית קוב היא דוגמה לפונקציה הממקסמת את הטענה, ולכן לא ניתן לשפרה.

ניסוח

תהי $f:D\to \mathbb{ℂ}$ פונקציה אוניוולנטית, כלומר פונקציה הולומורפית וחד־חד־ערכית, כאשר $D=\{z:|z|<1\}$ הוא מעגל היחידה. אזי התמונה $f(D)$ מכילה כדור ברדיוס $\frac{|f^{\prime }(0)|}{4}$ סביב $f(0)$ .

הוכחה

על ידי תהליך נרמול ניתן להניח כי $a_0=0,a_1=1$ , כלומר $f(z)=z+\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{z}^n$ . לכל $w\in ̸f(D)$ נגדיר $h(z)=\frac{f(z)}{1-f(z)/w}=z+(a_2+\frac{1}{w})z^2+\dots$ ; היא גם אוניוולנטית ב־$D$ . לפי משפט דה ברנז' על $f,h$ עבור $n=2$ , נקבל $|\frac{1}{w}|\le |a_2|+|a_2+\frac{1}{w}|\le 4$ , לכן $dist(w,0)=|w|\ge \frac{1}{4}$ .

פונקציית קוב

הגדרה ותכונות

פונקציית קוב היא הפונקציה ההולומורפית $k:D\to \mathbb{ℂ}-(-\mathrm{\infty },-\frac{1}{4})$ הנתונה על ידי $k(z)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}n{z}^n=\frac{z}{(1-z{)}^2}$ . זוהי פונקציה חשובה במיוחד, שכן היא מהווה דוגמה לטענות רבות. ראשית, היא ממקסמת את משפט הרבע של קוב – מתקיים $k(0)=0$ ו-$-\frac{1}{4}\in ̸k(D)$ .

פונקציית קוב ממקסמת גם את משפט דה ברנז', הטוען כי המקדמים $b_n$ בפיתוח טיילור של פונקציה אוניוולנטית מקיימים $|b_n|\le n$ .

בנייה גאומטרית

את פונקציית קוב ניתן לבנות כהרכבת פונקציות באופן הבא.

נביט בפונקציה $u:D\to J=\{z:Rez>0\},u(z)=\frac{1+z}{1-z}$ . זוהי העתקה קונפורמית. הפונקציה $u^2(z)$ מעבירה את $D$ לכל המישור המרוכב בלי הקרן $\{z:Rez<0\}$ . כעת, נבצע את תהליך הנרמול על $u^2(z)$ ונקבל את פונקציית קוב – $k(z)=\frac{1}{4}(u^2(z)-1)=\frac{1}{4}((\frac{1+z}{1-z}{)}^2-1)=\frac{z}{(1-z{)}^2}$ .

במילים אחרות, פונקציית קוב נבנית מפונקציה קונפורמית בין מעגל היחידה למישור בלי הקרן השמאלית, עליה מפעילים את תהליך הנירמול.

ראו גם

• פונקציה אוניוולנטית
• משפט דה ברנז'
• השערת גודמן

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט_הרבע_של_קוב19450408Q588218