ספרה

ערך זה עוסק בסמל מספרי. אם התכוונתם למשמעות אחרת, ראו ספירה.

סִפְרָה היא סמל שמשמש לייצוגם של מספרים, בדומה לאופן שבו אות משמשת לייצוג של מילים. כל ספרה בודדת מייצגת מספר שלם מסוים, ומספרים שלמים שאינם מיוצגים על ידי ספרה בודדת, כמו גם מספרים לא-שלמים, מיוצגים באמצעות שימוש בספרות אחדות הכתובות ברצף.

עקרונות

במהלך ההיסטוריה התפתחו בעמים שונים מערכות אחדות של ספרות. בחלק מהמקרים הספרות היו סימנים שנועדו רק למטרה זו, ובמקרים אחרים שימשו אותיות גם כספרות. הספרות הנפוצות והמוכרות, הקרויות ספרות הודיות-ערביות, נועדו רק לייצוגם של מספרים. לעומתן, ספרות רומיות הן אחדות מאותיות האלפבית הלטיני, ספרות יווניות הן אותיות האלפבית היווני, וספרות עבריות הן אותיות האלפבית העברי. לכל אחת מהאותיות המשמשות בשלושת המקרים הללו נקבע ערך מספרי.

עשר הספרות של הבסיס העשרוני, בסדר עולה (מימין לשמאל)

השיטה שבה משמשות הספרות לייצוגם של מספרים קרויה שיטת ספירה. המערכות השונות של הספרות הן משני סוגים:

שיטה לא פוזיציונלית: שיטת ספירה שבה לכל ספרה ערך קבוע. ערכו של מספר המורכב מספרות אחדות שווה לסכום הערכים של הספרות המרכיבות אותו. בספרות עבריות, למשל, ערכו של המספר "תל"ב" שווה לערכו של המספר "בל"ת" (אם כי הכתיב הראשון מקובל יותר). בשיטה זו לא נוח לייצג מספרים גדולים, וגם ביצוע ארבע פעולות החשבון אינו פשוט.
שיטה פוזיציונלית: שיטת ספירה שבה ערכה של הספרה תלוי במיקומה בתוך המספר. בשיטת הספירה העשרונית, הספרה "2" במספר 23 אינה מייצגת את המספר 2, אלא את המספר 20, משום שמיקום הספרה במספר מסמן כי היא מייצגת עשרות ולא יחידות. בהתאם לכך, ערכו של המספר 432 שונה מערכו של המספר 234, אף שהם מורכבים מאותן ספרות. שיטה פוזיציונלית מתבססת על בסיס ספירה מסוים כך שכל ספרה במספר מייצגת כפולה של חזקות של הבסיס (למשל, במספר עשרוני, כל ספרה במספר מייצגת חזקות של 10: 1, 10, 100, 1000 וכדומה), מספר הספרות הנדרשות לעבודה עם הבסיס שווה לגודל הבסיס. הבסיס הנפוץ ביותר הוא הבסיס העשרוני המשתמש בטווח הספרות "0"..."9". בבסיסים שדורשים יותר מעשר ספרות נהוג להשתמש באותיות לטיניות גדולות לספרות הנוספות - למשל בבסיס 16 (בסיס הקסדצימלי), מיוצגות הספרות שאחרי "9" באמצעות האותיות "A" עד "F".

מהותה של שיטת הספירה אינה מושפעת מהסמל המדויק שמייצג כל ספרה. בשיטה העשרונית, הנכתבת בספרות הודיות-ערביות, ניתן לייצג את הספרות בקשת רחבה של גופנים, בלא שיהיה הבדל מתמטי בין הייצוגים השונים. שוני גדול יותר בצורת הספרות קיים במעבר לספרות ערביות, המקובלות בקרב כותבי ערבית, אך גם שוני זה הוא חסר משמעות מתמטית, משום שמשתנה רק הסמל המייצג את הספרה, אך לא מהות הספרה. הטבלה הבאה מציגה דרכים אחדות לכתיבת הספרות 0–9:

ספרות הודיות-ערביות	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
ספרות ערביות	٩	٨	٧	٦	٥	٤	٣	٢	١	٠
פרסית	٩	٨	٧	۶	۵	۴	٣	٢	١	٠
טמילית	௯	௮	௭	௬	௫	௪	௩	௨	௧	௦
טלוגו	౯	౮	౭	౬	౫	౪	౩	౨	౧	౦

להדגשת העובדה שמהותה של ספרה אינה תלויה בסמל המשמש לייצוגה, יש המשתמשים במושג "סִפרן" לתיאור הסמל, ובמושג "ספרה" לתיאור הרעיון שסמל זה מתאר. ספרה מסוימת ניתן לייצג באמצעות סִפרנים שונים, המייצגים מהות אחת.

היסטוריה

התקופה הפרהיסטורית

בעידן הפרהיסטורי, החל האדם הנבון להבין את רעיונות המספר והחישוב. ישנו מספר מוגבל של ממצאים מהתקופה הפרהיסטורית המעידים על תפישה של חיבור וחיסור. הממצא הברור ביותר מהתקופה הוא עצם אישנגו מאפריקה, בו כתובות ספרות בשיטה הפשוטה ביותר, של בסיס אונרי, שבה כדי לייצג את המספר הטבעי n, סמל אחד, שנבחר לייצג את 1, חוזר על עצמו n פעמים. לדוגמה, על ידי שימוש בסימן | (קו אנכי), המספר 6 מיוצג על ידי ||||||. השיטה המקובלת לספירה באמצעות אצבעות הידיים היא דוגמה לספירה על פי בסיס אונרי. לרוב נהוג לקבץ את הסימנים בקבוצות של 5 (למשל, על ידי מתיחת קו על כל ארבעה סימנים) לצורך שיפור הקריאות.

רמזים לשימוש בבסיס אונרי מופיעים גם בשיטות מתקדמות יותר לכתיבת מספרים.

מצרים העתיקה

המצרים הקדומים היו הראשונים שביצעו פעולות מורכבות בתחום המתמטיקה בכלל והאריתמטיקה בפרט. בשנת 3450 לפנה"ס לערך פיתחו המצרים שיטת ספירה לא-פוזיציונלית, המבוססת על כפולות של 10. דרכם הייחודית להצגת המספרים הייתה חיבורית, כלומר: כל ספרה ביטאה גודל מסוים, כאשר הגודל "הכללי" של המספר הוא סכום הגדלים של כל אחת מהן בנפרד, בלא תלות במיקום הספרה.

הסמלים בהם השתמשו המצרים כמספרים (ניתן לראות כי המספרים 1 עד 9 כתובים בכתב יתדות בבסיס אונרי, ללא שינוי ניכר מהתקופה הפרהיסטורית):

המספר:

1,000,000

100,000

10,000

1,000

100

10

9

8

7

6

5

4

3

2

1

הסמל:

או

משמעות הסמל:

אדם ושתי ידיו מורמות

ראשן או צפרדע

אצבע

שושנת מים

סליל חבל

עול של בקר

תשעה קווים

שמונה קווים

שבעה קווים

שישה קווים

חמישה קווים

ארבעה קווים

שלושה קווים

שני קווים

קו בודד

כאשר רצו לבטא מספר מסוים שמורכב מיותר מספרה אחת (דו-ספרתי, תלת-ספרתי וכו'), חרטו המצרים את הסמלים אחד ליד השני, כאשר את הספרות שאינן יחידות ביטאו כקבוצת יחידות של כל ספרה. למשל, אם היו חפצים לבטא את המספר 7,507, הם כתבו אותו: 1×100+7×1,000+5×7 (קרי: שבע פעמים הסימן של אלף, חמש פעמים הסימן של מאה, והסימן של שבע).

כך זה יראה:

בבל

ערך מורחב – ספרות בבליות

בסביבות שנת 3500 לפנה"ס שלטו באזור מסופוטמיה השומרים, שעשו שימוש בכתב יתדות וערכו את חישוביהם בבסיס 60. בשנת 1900 לפנה"ס, אחרי שפלשו למסופוטמיה, קבעו הבבלים את בירתם בבבל. סביר להניח כי הבבלים ירשו את שיטת הספירה שלהם מן האשורים והאכדים משום נוחיותה.

שיטת הספירה הבבלית הביאה עמה חידוש משמעותי ביחס לשיטות הקודמות לה: הבבלים קישרו בין מיקומה של הספרה לבין הגודל שהיא מייצגת, בדומה לשיטה העשרונית בימינו כאשר בסיס הספירה הוא, כאמור, 60. כדי למנוע את הצרך ביצירת 60 סימנים מוסכמים שונים, השתמשו הבבלים בספירת משנה קיבוצית (ראו תמונה).

שגיאה ביצירת תמונה ממוזערת:

הספרות הבבליות – ניתן להבחין בנקל בשיטת הקיבוץ המשנית בה השתמשו הבבלים

החידוש המשמעותי בהכנסת שיטה זו לשימוש הוא בקיצור ההצגה של מספרים גדולים. בעוד ובשיטות שהן קיבוציות בלבד יש צורך בסימנים רבים על מנת להציג מספרים גדולים, בשיטות הכוללות קישור בין מיקום הספרה לסדר הגודל שלה, ישנו חיסכון במספר הספרות הדרושות להצגת המספר.

היעדר הספרה 0 גרם לבבלים, במשך תקופה ארוכה, להשאיר רווח בכל מקם בו נדרשה הסימון המיצג 0. סימן מתאים נכנס לשימוש בספרות הבבליות רק בשלב מאוחר יותר.

יוון העתיקה

ערך מורחב – ספרות יווניות

כדי לייצג מספרים בכתב, היוונים השתמשו תחילה במערכת מספרים המבוססת על בסיס עשרוני, כך שהסמל של כל מספר היה האות הראשונה של אותו מספר ביוונית, אלא אם כן, המספר היה מורכב מיותר מיחידת בסיס אחת (יחידות הבסיס היו המספרים בין 1 ל-9). כך למשל, המספר 5 (ביוונית: Πέντε) סומל באות פאי. שיטה זו נקראה השיטה האטית, על שם האזור בו השיטה התפתחה - אטיקה.

האותיות שבהן השתמשו היוונים כמספרים בשיטה האטית:
המספר:	50,000	10,000	5,000	1,000	500	100	50	10	5	1
הסימן:	πμ	μ	πχ	χ	πη	η	πδ	δ	π	ι
שמו היווני:	πεντάκις μύριοι	μύριοι	πεντάκις χίλιοι	χίλιοι	πενταόσιοι	έκαου	πέντήκοντα	δέκα	πέντε	εϊξ

האותיות בהם השתמשו היוונים כמספרים בשיטת ה"גרשים":
המספר:	9	8	7	6	5	4	3	2	1
הסימן:	θʹ‎	ηʹ‎	ζʹ‎	ϝʹ‎	εʹ‎	δʹ‎	γʹ‎	βʹ‎	αʹ‎
המספר:	90	80	70	60	50	40	30	20	10
הסימן:	ϟʹ‎	πʹ‎	οʹ‎	ξʹ‎	νʹ‎	μʹ‎	λʹ‎	κʹ‎	ιʹ‎
המספר:	900	800	700	600	500	400	300	200	100
הסימן:	ϡʹ‎	ωʹ‎	ψʹ‎	χʹ‎	φʹ‎	υʹ‎	τʹ‎	σʹ‎	ρʹ‎

בתקופה מאוחרת יותר, היוונים השתמשו בשיטת סימון מתקדמת יותר, שבה הוצגו המספרים לפי האלפבית היווני. בשיטה זו השתמשו ב-26 האותיות היווניות, כאשר לסימון המספרים בין 1 ל-9 נקבעו תשע האותיות הראשונות (דאז, כאשר האות ϝ הייתה בשימוש), בתוספת גרש ( ' ) בצד ימין של האות, למעלה. תשע האותיות הבאות ייצגו את העשרות מ-10 עד 90, והבאות את המאות. לסימון הספרות בין 1000 ל-900,000, השתמשו היוונים באותן אותיות, אך הוסיפו לאותיות את הגרש דווקא מצד שמאל של האותיות, למטה. ממיליון ומעלה, כנראה השתמשו היוונים בשני תגים במקום אחד.

רומא העתיקה

ערך מורחב – ספרות רומיות

השיטה הרומית מבוססת על הקבצה - כל מספר מיוצג כאוסף של סימנים, כאשר כל אחד מהסימנים מייצג כמות קבועה מראש, למרות שהיא כן תלויה במיקומו במספר. ערכו של המספר נקבע על פי סכום ערכי הסימנים המופיעים, כאשר חלק מהסימנים עשויים להיות מחוסרים מהסכום, בהתאם למיקומם במילה.

שיטת הספרות הרומיות מכילה שבעה סימנים בסיסיים שמקורם באלפבית השפה הלטינית:

I, המייצגת את הספרה אחת, ובשפת המקור unus.
V, המייצגת את הספרה חמש, ובשפת המקור quinque.
X, המייצגת את הספרה עשר, ובשפת המקור decem.
L המייצגת את הספרה חמישים, ובשפת המקור quinquaginta.
C המייצגת את הספרה מאה, ומקורה כנראה במילה centum שפירושה מאה.
D המייצגת את הספרה חמש מאות, ובשפת המקור quingenti.
M המייצגת את הספרה אלף, ומקורה כנראה במילה mille anangu שפירושה אלף.

אף שבחירתם של הרומאים באותיות מיוחדות לציון המספרים נעשתה במתכוון, ישנן סברות אחדות לגבי כל אחת מהבחירות. אחת הטענות הקיימות היא שהאות I נבחרה לסימון הספרה 1 מפני שהיא קו יחיד.
איש המאה ה-16, מתאוס הוסטוס, הניח כי האות V מסמלת יד פתוחה, כאשר כל זוג אצבעות, למעט האגודל, צמודות, ומכאן שהאות X היא שתי ידיים שכאלה. ישנה גם סברה כי X מצביע על ההרגל להעביר שני קווים מוצלבים על עשר יחידות כתובות, ואם כך, ה-V נובע כחצי מהקו המוצלב. ההיסטוריון הגרמני תאודור מומזן, שהיה מומחה להיסטוריה של האימפריה הרומית, סבר כי האות C היא ראשי תיבות של centum (מאה) וכי M היא ראשי תיבות של mille (אלף). ייתכן שהאותיות L ו-D נבחרו כי הן האותיות הכי דומות מתוך האלפבית הרומי לחציין של C (חצי ממאה - חמישים), ו-M בהתאמה.

למספרים גדולים השתמשו הרומאים בקו עליון מעל הספרה, המסמל למעשה את הכפלתה ב-1,000.

דוגמאות:

V = 5,000.

X = 10,000.

בכתיבת מספר, הספרות נרשמות משמאל לימין, מהגדולות לקטנות. אם מופיעה ספרה קטנה משמאל לספרה הגדולה ממנה, יש לחסר את הספרה הקטנה מהמספר הכולל. למשל:

V מסמל את המספר 5.
IV מסמל את המספר 4 - המספר 5 שמסומל על ידי V, פחות המספר 1 שמסומל על ידי I ומופיע משמאל ל-V.
VI מסמל את המספר 6: כאשר I מופיע מימין ל-V, ולכן הוא אינו מחוסר מהמספר הכולל אלא מחובר אליו.
23 מסומן ב-XXIII שהוא צירוף של X+X+I+I+I.

מטרת החיסור היא לפשט צירופים: במקום לכתוב IIII עבור 4, די לכתוב שתי ספרות: IV. השימוש בשיטת החיסור נעשה עבור הספרות הבאות: I יכול להופיע משמאל ל-V או ל-X. X יכול להופיע משמאל ל-L או ל-C, ו-C יכול להופיע משמאל ל-D או ל-M. בעת העתיקה השימוש בשיטת החיסור היה מקובל פחות מאשר בימינו, ועל כן לרוב השתמשו ב-IIII על מנת לייצג 4, ולא ב-IV, וכדומה.

הספרות הרומיות נותרו לשימוש בעיקר כאמצעי דקורטיבי, למשל בשעונים. בנוסף, הן מופיעות גם בטקסטים רשמיים כגון חוקת ארצות הברית.

התרבות ההודית

תרומתם העיקרית של ההודים לאריתמטיקה היא פיתוח השיטה העשרונית והכנסת שימוש מלא במושג אפס, כמו גם עבודתם עם מספרים שליליים.

בסביבות המאה השלישית לפנה"ס, החלו להופיע הספרות הברהאמיניות (ראו איור). ספרות אלה הן היסוד לספרות המוכרות לנו כיום מהשימוש בשיטה העשרונית. הסימנים המוכרים לנו כיום התקבעו במאה החמש העשרה, בין היתר הודות לצורך במערכת מוסכמת שבא בעקבות מהפכת הדפוס. ישנן מספר השערות בנוגע לדרך בה אימצו ההודים את השילוב של בסיס עשרוני עם העקרון של סדר גודל התלוי במיקום הספרה. השערה אחת מתבססת על העובדה שהראשונים לקשר בין מיקום הספרה לסדר הגודל שלה היו הבבלים. לפי השערה זו, העיקרון הועבר להודים על ידי היוונים כאשר ההודים "שילבו" אותו עם השימוש בבסיס ספירה עשרוני. השערה אחרת רואה בפיתוח התבססות על השיטה הסינית. השערה שלישית טוענת כי ההודים הגיעו לרעיון זה לבדם ללא גורם מתווך.

על חשיבותה של שיטת הספירה ההודית אמר פייר-סימון לפלס את הדברים הבאים:

השיטה המבריקה שבעזרתה ניתן לבטא כל מספר בעזרת 10 סימנים בלבד (כשלכל סימן סדר גודל וגודל מוחלט) מקורה בהודו. בימינו רעיון זה נראה כה פשוט עד שחשיבותו ונחיצותו אינם מוערכים דיו. חשיבותו נעוצה בכך שפישט את החישובים והציב בכך את האריתמטיקה בכפיפה אחת עם ההמצאות השימושיות ביותר. חשיבותה של המצאה זו מתבהרת עוד יותר כאשר אנו חושבים על כך שהייתה מעבר להישג-ידם של הקדמונים הגדולים כדוגמת ארכימדס ואפולוניוס.

תרבות המאיה

ערך מורחב – ספרות מאיה

תרבות המאיה התקיימה במרכז אמריקה. התור הקלאסי של תרבות המאיה התקיים בין השנים 250 ל-900 לספירה. כוהני הדת של תרבות המאיה עסקו רבות באסטרונומיה והיו בעלי השפעה רבה על תרבות המאיה בכללותה. לפיכך, כפועל יוצא, היה צורך בכלים מתמטיים לצרך בניית לוחות שנה ולניבויים אסטרונומיים. לצורך זה פיתחו בני המאיה מערכת ספרות מתקדמת יחסית לתקופתם.

בני המאיה השתמשו בספרות המאיה שפיתחו, אשר התבססו על בסיס 20, ככל הנראה מתוך ספירה על ידי שימוש באצבעות הרגליים והידיים גם יחד. אחד משלושת הסימנים מייצג את המספר 5, ככל הנראה כנגד 5 אצבעות בכף-יד. כל ספרות המאיה נכתבות באמצעות שלושה סימנים פשוטים: נקודה -המסמנת את המספר אחד, קו - המסמל את המספר חמש, וקונכייה - המסמלת את המספר אפס. שיטה זו נחשבת למתקדמת למדי לתקופתה שכן כללה הן את השילוב של עיקרון תלות מיקום הספרה לסדר הגודל של המספר הנמצא בה והן את קיומו של המספר אפס שאף קדם למערכת המיקומית והיה לאלמנט מהפכני ביחס לתקופתו. בני המאיה היו הראשונים להכניס את האפס לשימוש מלא במערכת הספרות שלהם שעה שבמערכות אחרות נהגו להותיר מקום ריק במקום בו אמור היה להופיע האפס.

בשיטת הספירה של המאיה, "גודלה האפקטיבי" של הספרה a (ספרה כלשהי) אשר נמצאה במקום הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ n} המקיים $n\geq 3$ היה, לפי חישובי המאיה, $\ a\times 18\times 20^{n-2}$ . כך, לדוגמה, ערכו של המספר ‏₂₀(8,14,3,1,12) היה:
$\ 12+1\times 20+3\times 18\times 20+14\times 18\times 20^{2}+8\times 18\times 20^{3}=1253912$ .^[1]

ספרות הודיות-ערביות

הספרות ההודיות-ערביות, שהן הספרות הנפוצות והמוכרות, התפתחו מהספרות הברהאמיניות, כאשר הסימן לספרה 0 הומצא בהודו בסביבות המאה ה-6. הספרות ההודיות והשיטה העשרונית אומצו על ידי הערבים בסביבות המאה ה-8, בין השאר, בעקבות ספר שפרסם המתמטיקאי הפרסי אבו ג'עפר מחמד אל ח'ואריזמי בשנת 825. לאירופה הגיעו הספרות במאה ה-11, דרך אנדלוסיה, כאשר התיעוד הראשון לשימוש בהן נעשה על ידי המלומד ז'רבר (גרבר) מאורייאק, לימים האפיפיור סילווסטר השני, בשלהי המאה העשירית^[2]. דחיפה נוספת לשימוש באירופה בספרות אלה נתן פיבונאצ'י בספרו ספר החשבונייה (Liber abbaci), שפורסם בשנת 1202.

ספרות לקריאה במכונה

משחר ההיסטוריה שמשו ספרות לתקשורת בין בני אדם: הן נכתבו בידי אדם ונקראו בידי אדם. בסוף המאה ה-19 החלה כתיבתן וקריאתן של ספרות באמצעות מכונות. בשנת 1870 המציא אמיל בודו את קוד בודו, ששימש להעברתן של אותיות וספרות במכשירי טלפרינטר. בשנת 1887 המציא האמריקאי הרמן הולרית' את הכרטיס המנוקב, והוא נכנס לשימוש במפקד האוכלוסין שנערך בארצות הברית בשנת 1890. בכל כרטיס היו 24 טורים, 12 שורות בכל טור. 10 משורות אלה שימשו לכתיבת הספרות 0 עד 9, כאשר נקב בשורה 3, למשל, ייצג את הספרה 3. הכרטיסים ניתנו לקריאה וכתיבה בציוד לעיבוד נתונים. בשנת 1928 יצרה חברת יבמ כרטיס גדול יותר, בן 80 טורים ו-12 שורות. השורות סימנו את עשר הספרות ועוד שתי שורות עיליות, אשר סייעו ביצירת אותיות. השימוש בכרטיסים מנוקבים נמשך עד אמצע שנות ה-70 של המאה ה-20.

בסוף שנות ה-30 של המאה ה-20, עם תחילת פיתוחם של מחשבים אלקטרוניים, החל ייצוגן של ספרות בזיכרון המחשב באמצעים אלקטרוניים, תחילה שפופרות ריק ובהמשך טרנזיסטורים לדורותיהם. אחסון הספרות נעשה על אמצעים מגנטיים (כגון סרט מגנטי), אופטיים (כגון תקליטור) ואלקטרוניים (כגון דיסק און קי). בכל הטכניקות הללו נוח להשתמש בבסיס בינארי, המצריך הבחנה בין שני מצבים בלבד (כלומר הספרות 0 ו-1 בלבד) לכתיבתם של מספרים. בניגוד לדרכים הקודמות לייצוגן של ספרות, הרישום האלקטרוני של ספרות ניתן לקריאה באמצעות מכונה בלבד, ואינו קריא ישירות על ידי אדם.

ראו גם

לקריאה נוספת

ז'ורז' יפרח, סְפָרוֹת וּמִסְפָּרִים: היסטוריה של המצאה גאונית, תרגום: עדה ירדני, הוצאת כרטא, 1990.

קישורים חיצוניים

מיזמי קרן ויקימדיה
ערך מילוני בוויקימילון: סִפְרָה
ערך מילוני בוויקימילון: ספרה

Florian Cajori, A History of Mathematical Notations, The Open Court Company, 1928
Oystein Ore, Number Theory and its History, McGraw-Hill, 1948, Chapter 1: Counting and Recorsing of Numbers, pp. 1-24

הערות שוליים

^ יש לציין כי ברוב שיטות הספירה תלויות המיקום, מתבצע חישוב ערכו של המספר $\ a_{n}a_{n-1}a_{n-2}...a_{0}.a_{-1}a_{-2}...a_{m}$ בצורה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \ a_n \times k^n+a_{n-1} \times k^{n-1}+a_{n-2} \times k^{n-2} + ... + a_0 \times k^0 + a_{-1} \times k^{-1}+ a_{-2} \times k^{-2}+ ... +a_{-m} \times k^{-m}} , ולא כמתואר לעיל (להרחבה ראו ערך בסיס).
^ ז'אק לה גוף, ימי הביניים בשיאם, עמוד 240 הערה 75