סדרת פרי

הצגה של סדרת פרי עד $F_9$

במתמטיקה, סדרת פרי (farey) מסדר $n$ היא סדרה של שברים בין 0 ו-1, שבצורתו כשבר לא מדומה המכנה שלו הוא קטן או שווה ל-$n$ , כאשר בכל סדרה האיבר הראשון הוא 0, האחרון הוא 1, האיבר האמצעי הוא $\frac{1}{2}$ (לכל $n>1$) והסדרה נבנית לפי סדר עולה. ניתן לראות כי כל סדרת פרי מסדר $n$ מכילה את כל הסדרות פרי מסדר הקטן מ-$n$ . הסדרה מסדר $n$ מסומנת על ידי $F_n$ (ללא קשר לסדרת פיבונאצ'י)

הסדרת פרי עד סדר 7
F1 = {0/1, 1/1} F2 = {0/1, 1/2, 1/1} F3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1} F4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1} F5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1} F6 = {0/1, 1/6, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 5/6, 1/1} F7 = {0/1, 1/7, 1/6, 1/5, 1/4, 2/7, 1/3, 2/5, 3/7, 1/2, 4/7, 3/5, 2/3, 5/7, 3/4, 4/5, 5/6, 6/7, 1/1}

מאפיינים

ניתן לראות כי אפשר לקשר בין כמות האיברים בין סדרות עולות על ידי פונקציית אוילר בצורה רקורסיבית (כאשר $|F_1|=2$):

$|F_n|=|F_{n-1}|+\phi (n)$

או ללא התייחסות לפונקציית אוילר:

$\begin{array}{r}|F_n|=1+\sum _{m=1}^n\phi (m)\\ |F_n|=\frac{1}{2}(3+\sum _{d=1}^n\mu (d){\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }^2)\end{array}$

ועל ידי שימוש בנוסחת ההיפוך של מביוס נקבל:

$|F_n|=\frac{n(n+3)}{2}-\sum _{d=2}^n\left|F_{\lfloor \frac{n}{d}\rfloor }\right|$

מבחינה אסימפטוטית, ניתן לראות כי:

$|F_n|\sim \frac{3n^2}{{\pi }^2}$

קשר להשערת רימן

אם נסמן את איברי הסדרה $F_n=\{a_{k,n}:k=0,1,\dots ,m_n\}$ , ונגדיר $d_{k,n}=a_{k,n}-\frac{k}{m_n}$ . בשנת 1924 הוכיח ג'רומה פראנל (Jérôme Franel) כי הטענה הבאה:

$\sum _{k=1}^{m_n}{d}_{k,n}^2=O(n^r)\mathrm{\forall }r>-1$

שקולה להשערת רימן, ובאותה שנה הוכיח אדמונד לנדאו כי הטענה:

$\sum _{k=1}^{m_n}|d_{k,n}|=O(n^r)\mathrm{\forall }r>\frac{1}{2}$

גם היא שקולה להשערת רימן. סדרת_פרי19191770Q1396592