סדרה הנדסית

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

במתמטיקה, סדרה הנדסית או סדרה גאומטרית היא סדרה של מספרים, כך שהיחס בין כל שני איברים סמוכים הוא קבוע. במילים אחרות, ניתן לחשב כל איבר בסדרה על ידי הכפלת האיבר הקודם לו במספר קבוע (היחס בין האיברים; נקרא גם מנת הסדרה). סדרה הנדסית קרויה כך, משום שכל איבר בה הוא הממוצע ההנדסי של האיבר הקודם לו והאיבר העוקב לו.

הסבר כללי

מקובל לסמן את האיבר במקום ה-[א] בצורה (את האות עשויה להחליף אות אחרת). אם ידוע לנו האיבר הראשון (מסומן ) ומנת הסדרה (הקבועה לכל אורכה; מקובל לסמן אותה באות ), אז ערכו של האיבר במקום ה- נתון בנוסחה:

הגדרה פורמלית

האיבר הכללי

תהי סדרה . נאמר שהסדרה הנדסית, אם קיים כך שלכל ,

מההגדרה נובע כי ניתן לאפיין כל סדרה הנדסית בעזרת שני ערכים:

  • – האיבר הראשון בסדרה
  • – מנת הסדרה

במילים אחרות, הסדרה מוגדרת על ידי נוסחת נסיגה, , עם ערך התחלתי .

ההגדרה לפי נוסחת הנסיגה שקולה להגדרה לפי הנוסחה לאיבר כללי בסדרה:

סכום סדרה הנדסית

מקובל לסמן את סכום האיברים בסדרה (כלשהי) , כאשר ו - הם הגבולות הרצויים.

מקרה פרטי הוא סכימה מהאיבר במקום ה-1 ועד האיבר במקום ה-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} (ועד בכלל)[ב]. מקובל לסמן סכום זה בביטוי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n} , ניתן לחשב את הסכום ישירות, על ידי חיבור כל הערכים.

עם זאת, במקרה של סדרה הנדסית קיימת גם נוסחה סגורה;

עבור המקרה הכללי:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = a_1\left(\frac{q^{N_1} - q^{{N_2}+1}}{1-q}\right)}

ועבור המקרה הפרטי:הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n = \frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}}

למשל, סדרה הנדסית סופית שמנתה היא 3, האיבר הראשון שלה הוא 2, ומספר איבריה הוא 5. בפירוש:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 162 ,54, 18, 6, 2.}

ניתן לסכום את הסדרה בפירוש,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle 2+6+18+54+162=242}

הנוסחות שמופיעה לעיל נותנות את אותו סכום, ללא סכימה מפורשת:

לפי הנוסחה הכללית:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S = 2\cdot\sum_{n=0}^{4}{3^n}= 2\cdot\frac{3^0-3^{4+1}}{1-3}= 2\cdot\frac{1-243}{-2}=242}
לפי הנוסחה הפרטית:
הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n = \frac{a_1\cdot(q^n-1)}{q-1}= \frac{2\cdot(3^5-1)}{3-1}= \frac{2\cdot (243-1)}{2}=242}

חשיבותה של הנוסחה מתבררת כאשר מעוניינים לסכום עד גדול. במקרה כזה, סכימה ידנית עשויה להיות מייגעת, ואילו הזמן שלוקח לחשב את הנוסחה הוא בערך קבוע.

הוכחת הנוסחה

על פי הגדרת הסדרה ההנדסית:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} S_n & = a_1+a_2+...+a_n \\ & = a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^{n-1} \end{align}}

הוספת האיבר הבא בסדרה נותנת את הסכום הבא בתור:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} S_{n+1} & = a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^{n-1}+a_1q^n \\ & =\left(a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^{n-1}\right)+a_1q^n \\ & = S_n + a_1q^n \end{align}}

ואחרי סידור חדש, מתקבל

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_{n+1}-S_n = a_1q^n\quad\quad(1)}

מצד שני,

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} S_{n+1} & = a_1 + a_1q + a_1q^2 + \cdots +a_1 q^n \\ & = a_1 + q\left(a_1+a_1q+a_1q^2+...+a_1q^{n-1}\right) \\ & = a_1+q \cdot S_n \end{align}}

לכן:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} S_{n+1}-S_n & = a_1+qS_n-S_n \\ & = a_1+S_n(q-1) \end{align}}

הצבה של משוואה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (1)} נותנת:

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle \begin{align} a_1+S_n(q-1)& =a_1q^n \\ S_n(q-1) & =a_1q^n-a_1 \\ S_n(q-1) & =a_1(q^n-1) \end{align}}

כדי להימנע מחלוקה באפס, נחלק למקרים:

  • אם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q=1} , הסדרה ההנדסית היא גם סדרה קבועה, שכל איבריה זהים, שכן 1 הוא איבר היחידה ביחס לפעולת הכפל. במקרה כזה נוסחת הסכום פשוטה לחישוב: .
  • אחרת, ניתן לחלק את האגף הימני והשמאלי ב- הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle (q-1)} , ותתקבל הנוסחה:
    הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n = \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}}

סימון חלופי

לעיתים מתחילים את אינדקס הספירה הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle n} מ-0, ואז הנוסחה לאיבר כללי מקבלת את הצורה: הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle a_n = a_0 \cdot q^{n}} והנוסחה לסכום החלקי הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_n = \frac{a_0(q^{n+1}-1)}{q-1}}

התכנסות טורים הנדסיים

ערך מורחב – סדרה הנדסית אינסופית מתכנסת

מנוסחת סכום סדרה הנדסית ניתן לראות, שאם הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle |q|<1} , גם אם מספר האיברים שואף לאינסוף (סוכמים "אינסוף איברים"), סכום הסדרה יהיה סופי (כלומר, מתכנס למספר מסוים), כיוון ש-הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle q^n \to 0} .

לכן, סכום הטור האינסופי מוגדר להיות גבול סדרת הסכומים החלקיים, והוא

הפענוח נכשל (SVG (אפשר להפעיל MathML בעזרת הרחבת דפדפן): תשובה בלתי־תקינה ("Math extension cannot connect to Restbase.") מהשרת "https://wikimedia.org/api/rest_v1/":): {\displaystyle S_\infty := \lim_{n \to \infty} S_n = \lim_{n \to \infty} \frac{a_1(q^n-1)}{q-1} = \frac{a_1}{1-q}} .

אם הגבול של סכום סדרה אינסופית קיים, אז הסכום נקרא טור מתכנס. בפרט, להתכנסות של הטור ההנדסי חשיבות רבה, שכן קיימים מבחני התכנסות לטורים אשר מתבססים על היכולת להשוות את הטור האינסופי שהתכנסותו נבדקת לטור הנדסי.

ראו גם

קישורים חיצוניים

ביאורים

  1. ^ לפעמים קוראים לו גם האיבר ה-
  2. ^ לפעמים נקרא גם הסכום החלקי של הסדרה
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

סדרה הנדסית34202017Q1306887