סגור סדרתי

בטופולוגיה, סְגור סדרתי (מאנגלית- sequential closure) של תת-קבוצה במרחב טופולוגי הוא אוסף כל נקודות הגבול שלה. במרחבים מטריים הגדרה זו שקולה להגדרת הסגור הרגיל. מרחב שבו הסגור הסדרתי מתלכד עם הסגור הרגיל נקרא מרחב פרשה-אוריסון.

הגדרה

יהי $X$ מרחב טופולוגי, ותהי $A\subseteq X$ . הסגור הסדרתי של $A$ מוגדר להיות: $scl(A)=\{lim({a}_{n})|\{{a}_{n}\}\subseteq A\}$ . קבוצה היא סגורה סדרתית אם היא שווה לסגור הסדרתי שלה. בניגוד למשתמע מהשם, סגור סדרתי של קבוצה אינו תמיד סגור סדרתית.

דוגמאות

עבור $(0,1]\subseteq \mathbb {R}$ , מתקיים $scl(0,1]=[0,1]$ .
כל כדור סגור שווה לסגור הסדרתי שלו.
תמיד מתקיים $A\subseteq scl(A)\subseteq cl(A)$ , כאשר $cl$ הוא הסגור הטופולוגי.
כל תת-קבוצה של מרחב דיסקרטי היא סגורה, ובפרט הסגור הסדרתי שלה שווה לה.
$scl(A\cup B)=scl(A)\cup scl(B)$ לכל שתי תתי קבוצות, ולכן גם לכל מספר סופי של תתי קבוצות.
במרחב מטרי, תת-קבוצה היא סגורה אם ורק אם היא שווה לסגור הסדרתי שלה.
במרחב מטרי, אם תת-קבוצה היא שלמה, אזי היא גם סגורה סדרתית. ההפך נכון כאשר המרחב עצמו שלם.