סגור סדרתי
קפיצה לניווט
קפיצה לחיפוש
בטופולוגיה, סְגור סדרתי (מאנגלית- sequential closure) של תת-קבוצה במרחב טופולוגי הוא אוסף כל נקודות הגבול שלה. במרחבים מטריים הגדרה זו שקולה להגדרת הסגור הרגיל. מרחב שבו הסגור הסדרתי מתלכד עם הסגור הרגיל נקרא מרחב פרשה-אוריסון.
הגדרה
יהי $ X $ מרחב טופולוגי, ותהי $ A\subseteq X $. הסגור הסדרתי של $ A $ מוגדר להיות: $ scl(A)=\{lim({a}_{n})|\{{a}_{n}\}\subseteq A\} $. קבוצה היא סגורה סדרתית אם היא שווה לסגור הסדרתי שלה. בניגוד למשתמע מהשם, סגור סדרתי של קבוצה אינו תמיד סגור סדרתית.
דוגמאות
- עבור $ (0,1]\subseteq \mathbb {R} $, מתקיים $ scl(0,1]=[0,1] $.
- כל כדור סגור שווה לסגור הסדרתי שלו.
- תמיד מתקיים $ A\subseteq scl(A)\subseteq cl(A) $, כאשר $ cl $ הוא הסגור הטופולוגי.
- כל תת-קבוצה של מרחב דיסקרטי היא סגורה, ובפרט הסגור הסדרתי שלה שווה לה.
- $ scl(A\cup B)=scl(A)\cup scl(B) $ לכל שתי תתי קבוצות, ולכן גם לכל מספר סופי של תתי קבוצות.
- במרחב מטרי, תת-קבוצה היא סגורה אם ורק אם היא שווה לסגור הסדרתי שלה.
- במרחב מטרי, אם תת-קבוצה היא שלמה, אזי היא גם סגורה סדרתית. ההפך נכון כאשר המרחב עצמו שלם.
ראו גם
סגור סדרתי16652735