נוסחת לייבניץ ל-π

תמונתו של גוטפריד וילהלם לייבניץ

במתמטיקה, נוסחת לייבניץ ל-π,ידוע גם כנוסחת לייבניץ גרגורי על שם גוטפריד וילהלם לייבניץ וג'יימס גרגורי, היא הנוסחה:

$1-\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{7}+\frac{1}{9}-\cdots =\frac{\pi }{4}.$

או ברישום מקוצר:

$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^n}{2n+1}=\frac{\pi }{4}.$

הוכחה

ניתן להוכיח טענה זו בקלות על ידי טור טיילור של פונקציה הופכית של טנגנס (נקראת טור גרגורי) שאומרת:

$\underset{0}{\overset{x}{\int }}\frac{du}{1+u^2}=\arctan x=x-\frac{x^3}{3}+\frac{x^5}{5}-\frac{x^7}{7}+\cdots$

ולהציב x = 1 ונקבל בקלות את הנוסחה. הנה הוכחה נוספת:

$\begin{array}{rl}\frac{\pi }{4}& =\arctan (1)=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{1}{1+x^2}dx\\ & =\underset{0}{\overset{1}{\int }}(\sum _{k=0}^n(-1{)}^k{x}^{2k}+\frac{(-1{)}^{n+1}{x}^{2n+2}}{1+x^2})dx\\ & =\sum _{k=0}^n\frac{(-1{)}^k}{2k+1}+(-1{)}^{n+1}\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}dx.\end{array}$

ניתן להבין מהשורה האחרונה כי:

$0<\underset{0}{\overset{1}{\int }}\frac{x^{2n+2}}{1+x^2}dx<\underset{0}{\overset{1}{\int }}{x}^{2n+2}dx=\frac{1}{2n+3}\to 0\text{ as }n\to \mathrm{\infty }.$

מכאן עבור n שואף לאינסוף, ניתן לראות כי: $\frac{\pi }{4}=\sum _{k=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^k}{2k+1}.$

קישורים חיצוניים

• נוסחת לייבניץ ל-π, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

נוסחת לייבניץ ל-π35259332Q97226587