נוסחת ברטשניידר

בגאומטריה אוקלידית, נוסחת ברטשניידר היא נוסחה לחישוב שטח של מרובע כלשהו על בסיס צלעותיו וזוויותיו, והיא

$K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cdot {\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)}$

$=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\frac{1}{2}abcd[1+\cos (\alpha +\gamma )]}.$

כאשר a,b,c ו-d הם צלעות המרובע, s היא מחצית ההיקף ו-α ו-γ הן זוויות נגדיות. הנוסחה נקראת על שם קרל אנטון ברטשניידר, אשר גילה אותה בשנת 1842. נוסחת ברטשניידר היא הכללה של נוסחת ברהמגופטה, שמתבססת על נוסחת הרון.

הוכחה

סרטוט להוכחה.

נסמן באות K את שטח המרובע, אז:

$\begin{array}{rl}K& =\text{area of }\mathrm{△}ADB+\text{area of }\mathrm{△}BDC\\ & =\frac{ad\sin \alpha }{2}+\frac{bc\sin \gamma }{2}.\end{array}$

מכאן

$4K^2=(ad{)}^2{\sin }^2\alpha +(bc{)}^2{\sin }^2\gamma +2abcd\sin \alpha \sin \gamma .$

על פי משפט הקוסינוסים:

$a^2+d^2-2ad\cos \alpha =b^2+c^2-2bc\cos \gamma ,$

אז שתי הצלעות שוות לאורך הצלע BD בריבוע, אז ניתן לרשום את הנוסחה כ:

$\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}=(ad{)}^2{\cos }^2\alpha +(bc{)}^2{\cos }^2\gamma -2abcd\cos \alpha \cos \gamma .$

עכשיו נחבר את הנוסחה הזו לנוסחה שלמעלה ונקבל:

$\begin{array}{rl}4K^2+\frac{(a^2+d^2-b^2-c^2{)}^2}{4}& =(ad{)}^2+(bc{)}^2-2abcd\cos (\alpha +\gamma )\\ & =(ad+bc{)}^2-4abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).\end{array}$

מכאן נשתמש באותה הדרך שבה הוכחה נוסחת ברהמגופטה, נקבל כי:

$16K^2=(a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right).$

נציב את מחצית ההיקף בנוסחה בתור:

$s=\frac{a+b+c+d}{2},$

ונקבל כי

$16K^2=16(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-16abcd{\cos }^2\left(\frac{\alpha +\gamma }{2}\right)$

נחלק ב-16 ונוציא שורש ונקבל את נוסחת ברטשניידר.

קישורים חיצוניים

• נוסחת ברטשניידר, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

נוסחת ברטשניידר23771450Q537518