לדלג לתוכן

משתמש:גיאומטריה/נוסחת האיבר הכללי לסידרת פיבונאצ'י

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית

שיטה זו מתאימה ספציפית לסדרת פיבונאצ'י בלי להשתמש במטריצות או טכניקות מתקדמות.

בניית סדרת פיבונאצ'י

על פי ההגדרה ניתן לבנות את הסדרה מקבוצות המכילות איברי a ו-b כאשר בכל שלב מחליפים מ-a ל-b ועל כל b מוסיפים a

מתקבל:

{a}

{b}

{a,b}

{b,a,b}

ניתן לראות שמספר האיברים בכל קבוצה הוא מספר פיבונצ'י מתאים ואילו קבוצות ה-a וה-b הם עותקים של הסידרה.

מקובל לסמן את הסידרה באות F. כאשר F0=0 ו-F1=1 ובהמשך Fn+1=Fn−1+Fn

יחס הזהב

על פי ההגדרה היחס מקיים בין שלושה מספרים a,b,c כאשר b>a; c=b+a; cb=ba ניתן להציב 1 ב-a ואז היחס הוא b מקובל לציין אותו באות φ.

על ידי הצבת 1 ב-a ו-φ ב-b מתגלה כי ϕ2=ϕ+1

בניית סדרת פיבונאצ'י מחזקות יחס הזהב

מכח השוויון ϕ2=ϕ+1 אפשר ליצור את הסדרה שבפיסקה הראשונה כאשר במקום a נכתוב 1 ובמקום b נכתוב φ. ניתן לראות שהכפלת 1 ב-φ מחליפה את האיבר ל-φ ואילו הכפלת φ ב-φ מוסיפה עוד 1. מכוח חוק הפילוג אפשר להמשיך את הפעולה גם לחזקות גבוהות של יחס הזהב.

ניתן להסיק מכאן כי ϕn=Fnϕ+Fn−1

הרחבת סידרת פיבונאצ'י למספרים שליליים

אם נשתמש בנוסחה לבניית הסידרה ניתן להניח F1−F0=F−1 ובדרך כלל Fn−1=Fn+1−Fn ניתן לראות שכל איבר אי זוגי Fn=F−n ובכל איבר זוגי −Fn=F−n הרחבה זו נותנת לנו את הנוסחה מהסעיף הקודם גם בחזקות שליליות של יחס הזהב.

נוסחת האיבר הכללי של הסידרה

ϕn−(−ϕ−n)2ϕ−1

הוכחה

במחובר הראשון של המונה מתקיים ϕn=Fnϕ+Fn−1

המחובר השני שווה ל-−1n⋅ϕ−n

כאשר לפי סוף הפיסקה הקודמת נמצא שלכל n- מתקיים −1n⋅ϕ−n=−Fnϕ+Fn+1

כעת ההפרש הוא Fnϕ+Fn−1−(−Fnϕ+Fn+1)=2Fnϕ−Fn חלוקה במכנה תיתן את Fn

מ.ש.ל.

צמצום המספרים האי רציונליים

(2ϕ−1)2=4ϕ2+1−4ϕ=4(ϕ+1)+1−4ϕ=5 על פי הגדרת יחס הזהב

מכאן:

ϕ=1+52

−ϕ−1=1−52 כי ϕ−1=ϕ−1

מכאן שניתן לכתוב את הנוסחה למציאת האיבר הכללי כך:

(1+5)n−(1−5)n2n5 עלי ידי הבינום של ניוטון אפשר לצמצם את ה-5.

אוחזר מתוך "https://he.hamichlol.org.il/w/index.php?title=משתמש:גיאומטריה/נוסחת_האיבר_הכללי_לסידרת_פיבונאצ%27י&oldid=1179744"