משפט קריין-סמוליאן

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

באנליזה פונקציונלית, משפט קריין-סמוליאן הוא משפט הנותן תנאי הכרחי ומספיק לקבוצה קמורה במרחב הדואלי להיות סגורה בטופולוגיה החלשה. במובן מסוים ניתן לחשוב על המשפט בתור המשפט ההפוך למשפט בנך-אלאוגלו. המשפט קרוי על שם המתמטיקאים מרק קריין וויטולד סמוליאן.

ניסוח המשפט

תהי AX*קבוצה קמורה בטופולוגיה החלשה-* ונגדיר Ar=ABr* כאשר Br* הוא הכדור ברדיוס r סביב 0 במרחב הדואלי. התנאים הבאים שקולים:

1) A סגורה w*.

2) Ar סגורה w* לכל r>0.

2') קיימת סדרה rn כך שלכל n, Arn סגורה w*.

הוכחה

סימונים: נסמן ב Br* את הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב הדואלי וב Br הכדור סביב הראשית ברדיוס r במרחב המקורי. כמו כן נסמן ב 𝕂 את שדה הבסיס.

ראשית נשים לב שממשפט בנך אלאוגלו Br* הוא w* קומפקטי ולכן w* סגורה. כמו כן אם 0<s<r אזAs=ArBs*. מכאן נקבל שקילות בין 2 ל 2'. באותו אופן ברור ש (1) גורר את (2). הכיוון הקשה הוא (2)(1).

טענה 1: תכונה (2) אינוורינטית להזזה ולניפוח: אם A מקיימת את (2) אז גם A+ϕ,λA(λ>0,ϕX*) מקיימות את (2).

הוכחה:

ניפוח: לכל λ,r>0 מתקיים ש (λA)r=λAr/λ. הואיל וכפל בסקלר הוא הומיאמורפיזם בטפולוגיה החלשה נקבל את הדרוש.

הזזה: נקבע r>0,ϕX*. תהי {ψλ}λΛ(A+ϕ)r רשת המתכנסת w* לאיבר ψX*. נראה ש ψ(A+ϕ)r. מכיוון ש Br* w* סגורה, מספיק להוכיח ש ψA+ϕ. מצד שני מאי שוויון המשולש מתקיים ש ||ψλϕ||||ϕ||+||ψλ||||ϕ||+r לכן {ψλϕ}λΛ(A)r+||ϕ|| רשת המתכנסת ל ψϕ. מההנחה נקבל ש ψϕAψA+ϕ וסיימנו.

טענה 2: אם A מקיימת את תכונה (2) אז A סגורה בטופולוגיה הנורמית.

הוכחה:

תהי ϕnϕ,ϕnA. בפרט יש r>0 כך ש ϕnAr. מההנחה ϕnϕ ולכן ϕnwϕ ומההנחה ϕArA.

המשך הוכחת המשפט:

יהי ϕX*A רוצים למצוא סביבה חלשה V של ϕ כך ש AV=. על ידי טענה 1 ניתן להניח ש ϕ=0. נשתמש בלמה הבאה:

למה: נניח ש 0∉A אז יש סדרה xnX המקיימת:

1) xn0

2) לכל ϕA יש n כך ש |ϕ(xn)|>1.

הוכחת הלמה:

בהינתן קבוצה MX נגדיר את הקבוצה הפולרית המוחלטת P(M)={ϕX*:|ϕ(x)|1xM}. כיוון ש A סגורה בנורמה, יש ρ>0 כך שלכל x ב A, ||x||ρ. על ידי ניפוח ניתן להניח ש ρ>1 ולכן A1=. נקבע F0={0} ונגדיר ברקורסיה סדרה של קבוצות סופיות לא ריקות FnX המקיימות לכל n1:

א. FnB1/n.

ב. An(i=0n1P(Fi))=.

כיוון ש A1=, רואים ש F0 מקיימת את הדרוש. נניח שמצאנו {Fi}i=0N1 נמצא את FN. נניח בשלילה שאין כזאת. כיוון שהקבוצות הפולריות המוחלטות סגורות בטופולוגיה החלשה*, נקבל שהקבוצה K=AN+1(i=0N1P(Fi))BN+1* היא קומפקטית בטופולוגיה החלשה* (היא תת-קבוצה סגורה של קבוצה קומפקטית לפי משפט בנך אלאוגלו). מההנחה בשלילה נובע שלכל קבוצה סופית GB1/N מתקיים KP(G)=. מקומפקטיות נקבל ש GB1/N,|G|<(KP(G))=. יהי ϕ בחיתוך הנ"ל. אז ϕK. כמו כן לכל xX,||x||<1/N מתקיים ש |ϕ(x)|1. מכך נקבל ש ||ϕ||N ואז ϕKBN*=AN(i=0N1P(Fi)) בסתירה להנחה שבחרנו על {Fi}i=0N1. לכן אפשר להמשיך את הבנייה.

כיוון ש {Fi}i=0 סופיות אז i=0Fi בן מנייה ויהי {xn} מנייה של הקבוצה. מתנאי א נקבל בבירור שנקבל את (1). כעת יהי ϕA. נקבע N כך ||ϕ||N+1. מתנאי ב נקבל שיש jN כך ש ϕ∉P(Fj) ולכן יש xnFj כך ש |ϕ(xn)|>1 וקיבלנו את (2).

הוכחת המשפט: נקבע סדרה xnX כמו בלמה. מ (1) יש r>0 כך שמתקיים ||xn||r. נתבונן באופרטור

T:X*𝕂,T(ϕ)={ϕ(xn)}n=1. ברור ש T ליניארי ומ- (1) נקבל כי Range(T)c0. כמו כן ברור ש T רציף כיוון ש ||T(ϕ)n||=||ϕ(xn)||||ϕ||||xn||||ϕ||r. מקמירות A נקבל ש T(A) קמורה. תהי B={bc0:||b||<1}. אז B סגורה ומ (2) נקבל ש T(A)B=. ממשפט האן בנך נקבל שיש פונקציונל η(c0)* וכן α כך ש (η(a))α>(η(b)),aT(A),bB. אם נציב b=0 נקבל ש α>0. כיוון ש (c0)*l1 נקבל שיש סדרה t=(tn)l1 כך ש η(y)=i=1tiyi. מתקיים ||tnxn||=|tn|||xn|||tn|ri=1||tnxn||ri=1|tn|< וכיוון ש X מרחב בנך מקבלים שיש x=i=1tnxn. לכל ϕX* מתקיים: η(T(ϕ))=i=1tiT(ϕ)n=i=1tiϕ(xn)=ϕ(x). לכן נקבל עבור ϕAש (ϕ(x))α. לכן אם נבחר את הסביבה V={ϕX*|(ϕ)<α} אז היא תהייה הסביבה המבוקשת.

שימושים

מסקנה שימושית מהמשפט הוא שתת-מרחב סגור בטופולוגיה החלשה* אם ורק אם כדור היחידה שלו סגור במרחב בטופולוגיה החלשה*.

מסקנה נוספת היא שהקמור הסגור של קבוצה קומפקטית בטופולוגיה החלשה* הוא קומפקטי בטופולוגיה החלשה*.

ראו גם

משפט בנך אלאוגלו

טופולוגיה חלשה

לקריאה נוספת

  • בונסל פ., הרצאות על כמה משפטי נ"ש של אנליזה פונקציונלית, מכון טטה, 1962.
  • Diestel, Joseph (1984), Sequences and series in Banach spaces, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90859-5.
  • Dunford, N.; Schwartz, J.T. (1958), Linear operators, Part I, Wiley-Interscience.
  • Whitley, R.J. (1967), "An elementary proof of the Eberlein-Smulian theorem", Mathematische Annalen, 172 (2): 116–118, doi:10.1007/BF01350091.

קישורים חיצוניים

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט קריין-סמוליאן29107330Q2226697