משפט האן-בנך

משפט האן-בנך הוא משפט מרכזי באנליזה פונקציונלית העוסק בהרחבה של פונקציונל $f_0$ מתת-מרחב של מרחב בנך, אל המרחב כולו. המשפט נוסח והוכח על ידי סטפן בנך והאנס האן, כל אחד לחוד ובאופן בלתי תלוי, בשנות ה-20 של המאה ה-20.

המשפט

יהי $L$ מרחב בנך מעל השדה $F$ (שדה הממשיים או המרוכבים), עם תת-מרחב $L_0\subset L$, ופונקציה תת-ליניארית $\rho :L\to \mathbb{ℝ}$ (פונקציה זו מכונה לעיתים מז'ורנטה).
אזי כל פונקציונל ליניארי $f_0:L_0\to F$ החסום על ידי $\rho$ (כלומר: $|f_0(x)|\le \rho (x)$ לכל $x\in L_0$) אפשר להרחיב לפונקציונל $f:L\to F$ שגם הוא חסום באותו אופן.

כלומר:

1. $\mathrm{\forall }x\in L_0:f(x)=f_0(x)$ (כלומר: $f$ הוא אכן הרחבה של $f_0$).
2. $\mathrm{\forall }x\in L:|f(x)|\le \rho (x)$ (כלומר: $f$ חסום גם כן על ידי $\rho$).

מסקנות ושימושים

• קיום הרחבה שומרת נורמה:

אם $L$ הוא מרחב בנך ו-$M$ הוא תת-מרחב שלו, ואם $f_0:M\to \mathbb{ℝ}$ הוא פונקציונל רציף (כלומר, חסום) על $M$, אזי קיימת לו הרחבה $f:L\to \mathbb{ℝ}$ רציפה, ובעלת אותה נורמה, כלומר: $\Vert f_0{\Vert }_{L_0^{*}}=\Vert f{\Vert }_{L^{*}}$. זו היא מסקנה ישירה מכך שפונקציונל הוא רציף אם ורק אם הוא חסום, כלומר: $f_0(x)\le \Vert f_0{\Vert }_{*}\cdot \Vert x\Vert$, ומכך שהנורמה היא פונקציה תת-ליניארית ולכן יכולה לשמש כמז'ורנטה במשפט האן-בנך. בניסוח קטגורי, ניתן לנסח מסקנה זו כך: בקטגוריה של מרחבי בנך, $\mathbb{ℝ}$ הוא אובייקט אינג'קטיבי.

• משפט ההפרדה בין נקודות:

$\mathrm{\forall }{x}_0\ne 0:\mathrm{\exists }{f}_0\ne 0\text{bounded functional}\text{such that}:f_0(x_0)=\Vert f_0\Vert \cdot \Vert x_0\Vert \ne 0$.

בפרט, אם נגדיר $x_0=x_1-x_2$ עבור $x_1\ne x_2$ אזי נקבל שקיים פונקציונל $f_0\ne 0$ כך ש $f_0(x_1)\ne f_0(x_2)$. כלומר: קיים פונקציונל המפריד בין שתי נקודות שונות.

• משפט ההפרדה בין תת-מרחב לנקודה:

יהי $L$ מרחב בנך ויהי $M$ הוא תת-מרחב שלו (לא בהכרח סגור). תהי $z\notin \bar{M}$ נקודה שאיננה בסגור של $M$, אזי קיים פונקציונל רציף (חסום) $f:M\to \mathbb{ℝ}$ כך ש:

1. $\mathrm{\forall }x\in M:f(x)=0$ ,
2. $f(z)=1$
3. ומתקיים ש $\Vert f\Vert =(\Vert z\Vert {)}^{-1}$

הוכחת המשפט

הוכחת המשפט נעזרת בלמה של צורן. מסתכלים על קבוצת כל ההרחבות של $f_0$ החסומות על ידי $\rho$ לתת-מרחב כלשהו $L_0\subset L_{\alpha }\subset L$ עם יחס הסדר "הרחבה של" (נסמן קבוצה זאת ב-$E$). זהו מרחב סדור וקל לראות שלכל שרשרת בו יש איבר מקסימלי. לכן, לפי הלמה של צורן, קיים איבר מקסימלי ב-$E$ שמהווה הרחבה של $f_0$ המקיימת את הנדרש. נותר להראות שזו אכן הרחבה על כל $L$.

עושים זאת באמצעות הוכחה על דרך השלילה. מניחים שההרחבה המקסימלית ב-$E$ מוגדרת על תת-מרחב $L^{\prime }\subset L$, כאשר $L^{\prime }\ne L$. אזי קיים $y\in L-L^{\prime }$ ולכן אפשר לבנות במפורש הרחבה החסומה על ידי $\rho$, המוגדרת על ידי:

$\mathrm{\forall }z\in \text{span}(L^{\prime }\cup \{y\}):f(z)=f(x+\lambda y)=f^{\prime }(x)+\lambda y^{\prime }$

כאשר $z=x+\lambda y$ פירוק יחיד של $z$ כאשר $x\in L^{\prime }$ ו-$f^{\prime }$ הוא ההרחבה המקסימלית על $L^{\prime }$ (והם איברי המשפחה $E$). כעת נותר להראות שאפשר לבחור ערך $f^{\prime }(y)=y^{\prime }$ כך שלכל $z$ בתחום ההגדרה יתקיים $f^{\prime }(x)+\lambda y^{\prime }=f(z)\le \rho (z)$. באמצעות מניפולציות אלגבריות, טיעונים של חדו"א (חסם עליון) ושימוש בתכונותיה של פונקציה תת-ליניארית אפשר להראות שקיים $y^{\prime }$ כנדרש. בכך בנינו הרחבה ל-$f^{\prime }$ מ-$L^{\prime }$ לתת-מרחב גדול יותר, והרחבה זו גם איבר ב-$E$.

מכיוון שהצלחנו לבנות הרחבה לאיבר המקסימלי של $E$, וניתן לראות בקלות שגם היא ב-$E$, נובע שהוא לא איבר מקסימלי וזו סתירה.

לכן, האיבר המקסימלי של $E$ מוגדר היטב על כל $L$ ומהווה הרחבה של $f_0$ המקיימת את הנדרש. $◼$

ראו גם

• אנליזה פונקציונלית
• פונקציונל, פונקציה תת-ליניארית

קישורים חיצוניים

• משפט האן-בנך, באתר אנציקלופדיה למתמטיקה (באנגלית)
• משפט האן-בנך, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט האן-בנך36031060Q866116