משפט פרובניוס (תורת החבורות)

מתוך המכלול, האנציקלופדיה היהודית
קפיצה לניווט קפיצה לחיפוש

משפט פרובניוס בתורת החבורות, אומר שלכל מחלק d של הסדר של חבורה G, מספר האיברים בחבורה הפותרים את המשוואה xd=1 מתחלק ב-d. המשפט נקרא ע"ש פרדיננד גאורג פרובניוס שהוכיח אותו בשנת 1895[1].

ניסוח המשפט

תהי G חבורה ויהי d מחלק של הסדר |G|. נסמן ב Ad={xGxd=e} את אוסף האיברים מסדר המחלק את d. אזי d|Ad|.

הוכחה

נעזר בעובדה הבאה מתורת החבורות:

כל איבר מסדר nm, כאשר n,m זרים, אפשר לפרק בצורה x=yz כאשר zy=yz=x,o(y)=n,o(z)=m (למעשה אפשר לבחור את y,z להיות חזקות של x).

נעזר גם בלמה הבאה:

למה: לכל n אם An לא ריקה אז ϕ(n)|An| כאשר ϕ היא פונקציית אוילר. בנוסף אם d|G| מהצורה d=pαs כאשר pα+1|G|,(p,s)=1 ואם A=AdpAd אז A ריקה או ש ϕ(pα+1)|A|.

הוכחה: נתבונן ביחס השקילות הבא: xyx=y, כלומר הם יוצרים אותה תת-חבורה. מתקיים xxt(t,o(x))=1. לכן מס' האיברים במחלקת השקילות של x הוא ϕ(o(x)). מקבלים ש An איחוד של מחלקות שקילות של איברים מסדר n ונקבל ש ϕ(n)|An|. נרשום את A בצורה הבאה: A={xGo(x)=pα+1s1,s1s}. אם A אינה ריקה נקבל שA=s1so(xi)=pα+1s1[x] כאשר [x] מסמן את המחלקה של x. כל אחת מהחלקות המשתתפות באיחוד מתחלקת ב ϕ(pα+1s1)=ϕ(pα+1)ϕ(s1). ונקבל את הדרוש.

הוכחת המשפט:

יהו dn:=|G|. ההוכחה באינדוקציה כפולה על n,d. מקרה הבסיס n=1 או d=n טריוויאליים. נניח שהוכחנו לכל חבורה קטנה יותר ולכל מחלק גדול יותר של החבורה נראה נכונות עבור d,n: יהי p|G|d,d=pαs,(s,p)=1. תהי A=AdpAd. מתקיים |Ad|=|Adp||A|.

מאינדוקציה נקבל כי dp|Adp| ולכן מספיק להראות ש d|A|. אם A ריקה זה ברור. נניח ש-A אינה ריקה. מהלמה pα(p1)=ϕ(pα+1)|A| ולכן מספיק להראות ש s|A|. נרשוםA={xGo(x)=pα+1s1,s1s} ומהעובדה שצוטטה לעיל נקבל שלכל x ב-A ישנם y,z כך ש x=yz=zy,o(y)=pα+1,zs=e. נסמן ב C(a)=C(a) את המרכז של a וב conj(a) את מחלקת הצמידות של a. עבור a ב G נגדיר Sa={abbs=e,bC(a)},Sconj(a)=xconj(a)Sx. מקבלים ש A=o(a)=pα+1Sa. נראה שזהו איחוד זר. אכן יהיו o(a)=o(a1)=pα+1,ab=ba=b1a1=a1b1,bs=b1s=1. נקבל ש as=asbs=(ab)s=(a1b1)s=a1sb1s=a1s. כיוון שo(a)=o(a1)=pα+1 וכן (s,p)=1נקבל ש a=a1 והראנו שהאיחוד זר. לכן מספיק להראות ש s|Sconj(a)| לכל a מסדר pα+1. נשים לב שהעתקה Φ:SaSx1ax,abx1axx1bx היא התאמה חח"ע ועל ולכן |Sconj(a)|=|conj(a)||Sa|. יהי k=|C(a)/a|,m=(s,k). ההתאמה abba היא התאמה חח"ע ועל מ Sa ל {yC(a)/ays=e}={yC(a)/aym=e}. כיוון ש-k<n נקבל מהנחת האינדוקציה ש m|{yC(a)/aym=e}|=|Sa| ולכן |Sa|=cm. ממשפט מסלול מייצב נקבל ש |conj(a)|=|G||C(a)| ולכן |Sconj(a)|=|conj(a)||Sa|=|G||Sa||C(a)|=ncmkpα+1. כיוון שגם k וגם s מחלקים את n נקבל שגם הכפולה המשותפת המינימלית שלהם lcm(k,s)=ksm מחלקת את n. לכן s מחלק את ncmk. מכיוון ש (s,p)=1 נקבל ש s|Sconj(a)| וסיימנו.

שימושים

1) משפט פרובניוס מאפשר להראות שחבורות רבות אינן פשוטות ואפילו לתאר את המבנה שלהם.

מסקנה 1: תהי G חבורה כך ש |G|=i=1rpiαi ו pi סדרה עולה. נניח שכל תת חבורה p סילו היא ציקלית. במקרה כזה תת-חבורת pr סילו היא נורמלית ב G ובנוסף G חבורה פתירה. בפרט אם |G|חופשית מריבועיים אז היא פתירה ותת חבורת pr סילו שלה היא נורמלית.

הוכחה: נוכיח באינדוקציה על d ש d=|Ad| עבור d|G| כך ש d=pkβki=k+1rpiαi1kr,βkαk. המקרה של d=|G| ברור. נניח שהראנו לכל מחלק d מהצורה לעיל הגדול מ d, ונוכיח כעת עבור d. יהי p המחלק הראשוני הגדול ביותר של |G|d. תהיA=Adp/Ad. כיוון שחבורות p סילו ציקליות, A לא ריקה. מהנחת האינדוקציה |Adp|=dp. ממשפט פרובניוס קיים 1t<p כך ש |Ad|=dt. מהלמה בהוכחת משפט פרובניוס נקבל ש p1dpdt=d(pt) מהצורה של d כל מחלק של d הוא לפחות p ולכן (p1,d)=1 לכן p1(pt) ולכן t=1. קיבלנו לכן ש d=|Ad| עבור d מהצורה הנ"ל. בפרט עבור d=prαrנקבל ש |Aprαr|=prαr ונקבל שתת-חבורת ה pr סילו N יחידה ולכן נורמלית. מאינדוקציה N,G/N פתירות ונקבל את הדרוש. ה"בפרט" נובע מכך שכל חבורה מסדר ראשוני היא ציקלית.

באופן דומה מוכיחים את המסקנה הנוספת הבאה:

מסקנה 2: לכל n קיימת חבורה בגודל n שאינה ציקלית אמ"מ (n,ϕ(n))1.

2) על ידי חישוב |Ad| בחבורות ספציפיות ניתן לקבל זהויות בתורת המספרים. למשל לכל ראשוני p ולכל pn על ידי חישוב |Ap| בחבורה הסימטרית Sn ניתן להראות כי מתקיים:k=1npn!pkk!(npk)!1(modp).

תוצאות נוספות

ראו גם

קישורים חיצוניים

הערות שוליים

  1. F. G. Frobenius, Verallgemeinerung des Sylowschen Satzes, Berliner Sitz
  2. Hall Jr.Marshall, Theory of Groups, 1959
  3. NOBUO IIYORI AND HIROYOSHI YAMAKI, ON A CONJECTURE OF FROBENIUS
הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט פרובניוס (תורת החבורות)40680597Q25351846