משפט פסקל

משפט פסקל הוא משפט בגאומטריה של המישור, העוסק בנקודות המפגש של שתי שלשות של נקודות. את המשפט הוכיח בלז פסקל ב־1639.

תהיינה 1,2,3,4,5,6 נקודות על חתך חרוט (אליפסה, היפרבולה וכדומה). נשרטט את המשושה 123456, שצלעותיו הן הישרים המחברים את הזוגות 12,23,34,45,56,61. משפט פסקל קובע ששלוש נקודות החיתוך של הצלעות הנגדיות, כלומר $12\cdot 45,23\cdot 56,34\cdot 61$ , נמצאות על ישר אחד. ישר זה נקרא ישר פסקל של המשושה. הוכחתו המקורית של פסקל לא נשתמרה, ומשערים שהיא מבוססת על משפט מנלאוס ביחס למשולש שצלעותיו הן הישרים 12,34,56.

המשפט ההפוך נכון גם הוא: כל שש נקודות המקיימות את תנאי פסקל נמצאות על חתך חרוט. היפוך המשפט מאפשר לשרטט חתך חרוט באופן מכני: נקבע ישרים $\ell ,\ell '$ ונקודות $a,a',p$ ; אז המקום הגאומטרי של הנקודות $x^{*}=ax\cap a'(\ell '\cap px)$ כאשר $x\in \ell$ הוא חתך חרוט, העובר דרך הנקודות $a,a',\ell \cap \ell ',\ell \cap pa',\ell '\cap pa$ .

Hexagrammum Mysticum

נניח ששש הנקודות 1,2,3,4,5,6 נתונות בלי חשיבות לסדר. מכיוון שהמשושה תלוי בסדר הקודקודים ולא רק במקומם, יש ${\frac {6!}{12}}=60$ משושים שונים שאלו הקודקודים שלהם (המשושה נקבע לפי מספור ששת הקודקודים, עד כדי סיבוב והיפוך הסדר). כל אחד ואחד מן המשושים האלה מגדיר ישר פסקל משלו, כך שששיית הנקודות במישור קובעת מערכת של 60 ישרי פסקל הקרויה "Hexagrammum Mysticum", שיש לה תכונות קומבינטוריות מורכבות.

20 נקודות שטיינר ו-15 ישרי פלוקר של ששיית נקודות

למשל, יאקוב שטיינר הוכיח שישרי פסקל המתקבלים מהחלפה ציקלית של שלוש נקודות זוגיות (כלומר אלו המתאימים לסידורים 123456, 143652 ו-163254) נפגשים בנקודה אחת; כך נוצרות 20 "נקודות שטיינר" (ראה איור). יש 15 "ישרי פלוקר" שכל אחד מהם עובר דרך ארבע נקודות שטיינר ^[1] (ראה איור). בדומה לזה, T.P. Kirkman (1806-1895) הוכיח שישרי פסקל המתקבלים מהחלפה ציקלית של שתי שלשות רצופות בכיוונים הפוכים (כלומר אלו המתאימים לסידורים 123456, 312564 ו-231645) גם הם נפגשים בנקודה אחת, וכך נוצרות 60 נקודות שכל אחת מהן שייכת לשלושה ישרי פסקל. יש 20 "ישרי קיילי" שכל אחד מהם עובר דרך נקודת שטיינר ושלוש נקודות קירקמן; ויש 15 "נקודות סלמון" שכל אחת מהן היא נקודת המפגש של ארבעה ישרי קיילי.

מקורות

Geometry Revisited, Coxeter and Greitzer, Section 3.8

הערות שוליים

^ נסמן ב-D את חבורת התמורות הנוצרת על ידי הסיבוב (123456) והשיקוף (26)(35); לכל תמורה $\ \sigma \in S_{6}$ מוגדר ישר פסקל של הקוסט $\ \sigma D$ . נסמן $\ \alpha =(246)$ ו- $\ D_{1}=\langle \alpha ,D\rangle$ . הישרים של $\ \sigma D,\sigma \alpha D,\sigma \alpha ^{2}D$ נפגשים בנקודת שטיינר של הקוסט $\ \sigma D_{1}$ .

[1] נסמן ב-D את חבורת התמורות הנוצרת על ידי הסיבוב (123456) והשיקוף (26)(35); לכל תמורה $\ \sigma \in S_{6}$ מוגדר ישר פסקל של הקוסט $\ \sigma D$ . נסמן $\ \alpha =(246)$ ו- $\ D_{1}=\langle \alpha ,D\rangle$ . הישרים של $\ \sigma D,\sigma \alpha D,\sigma \alpha ^{2}D$ נפגשים בנקודת שטיינר של הקוסט $\ \sigma D_{1}$ .

[1]

משפט פסקל

Hexagrammum Mysticum

מקורות

הערות שוליים

תפריט ניווט

חיפוש