משפט מנלאוס

בגאומטריה אוקלידית, משפט מנלאוס נותן תנאי הכרחי ומספיק לכך ששלוש נקודות על צלעות משולש או המשכיהן תהיינה מונחות על ישר אחד.

מקרה 1: שתי נקודות על הצלעות ונקודה שלישית בהמשך הצלע השלישית

מקרה 2: כל הנקודות על המשכי הצלעות

המשפט קובע (לפי הסימונים שבשרטוטים בצד שמאל) שהנקודות D,E,F נמצאות על ישר אחד (בשרטוט - הישר הסגול) אם ורק אם מתקיים: $\frac{AF}{FB}\cdot \frac{BD}{DC}\cdot \frac{CE}{EA}=1$ (כאשר היחסים מסומנים על-פי הכיוון).

הוכחה

נטיל את שלוש הנקודות לישר המאונך לישר DE; נסמן כל נקודה בהיטל באות של הנקודה המקורית עם תג ('). על-פי משפט תאלס, משפט מנלאוס שאנו רוצים להוכיח שקול לקביעה ש-D' ו-F' מתלכדות אם ורק אם: $\frac{A^{\prime }{F}^{\prime }}{F^{\prime }{B}^{\prime }}\cdot \frac{B^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{C}^{\prime }}\cdot \frac{C^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{A}^{\prime }}=-1$. נוסחה זו שקולה ל $\frac{A^{\prime }{F}^{\prime }}{F^{\prime }{B}^{\prime }}\cdot \frac{B^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{A}^{\prime }}=1$, השקולה ל- $\frac{A^{\prime }{F}^{\prime }}{F^{\prime }{B}^{\prime }}=\frac{A^{\prime }{D}^{\prime }}{D^{\prime }{B}^{\prime }}$. ברור שהשוויון האחרון מתקיים אם ורק אם D',ו-F' מתלכדות.

ראו גם

• משפט צ'בה

קישורים חיצוניים

מדיה וקבצים בנושא משפט מנלאוס בוויקישיתוף

• משפט מנלאוס, באתר MathWorld (באנגלית)

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

משפט מנלאוס41214226Q193882