השערת גודמן

באנליזה מרוכבת, השערת גודמן היא השערה בדבר המקדמים של פונקציות מולטי-ולנטיות, המכלילה את משפט דה ברנז'. את ההשערה ניסח אדולף וינקלר גודמן, מתמטיקאי שעסק רבות בתורת הפונקציות המולטי-ולנטיות.

ניסוח

תהי $ f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{b_{n}z^{n}} $ היא פונקציה $ p $-ולנטית. ההשערה טוענת כי המקדמים מקיימים:

$ |b_{n}|\leq \sum _{k=1}^{p}{\frac {2k(n+p)!}{(p-k)!(p+k)!(n-p-1)!(n^{2}-k^{2})}}|b_{k}| $

תוצאות חלקיות

גודמן ומתמטיקאים רבים הגיעו לתוצאות חלקיות בדבר ההשערה. היא הוכחה למספר משפחות פונקציות ספציפיות, ובמקביל הוכחו חסמים חלשים יותר מהטענה עצמה.

משפט: כאשר $ p=2,3 $ השערת גודמן נכונה עבור פונקציות מהצורה $ P\circ \phi $ כאשר $ P $ הוא פולינום ו-$ \phi $ היא אוניוולנטית.

לקריאה נוספת

• A. W. Goodman, ON SOME DETERMINANTS RELATED TO p-VALENT FUNCTIONS, 1948
• Abdallah Lyzzaik and David Styer, Goodman's Conjecture and the Coefficients of Univalent Functions, Proceedings of the American Mathematical Society, 1978

הערך באדיבות ויקיפדיה העברית, קרדיט,
רשימת התורמים
רישיון cc-by-sa 3.0

השערת גודמן35374196Q25489089